🔴  Lives #BAC2024

À partir du 12 mai, révise le bac avec nous sur YouTube tous les soirs à 19h30 ! Découvrir la chaîne →

Pyramides et cônes

Savoir calculer le volume d'une pyramide - Exercice 2

10 min
20
Question 1
On considère la figure ci-dessous :
Ici SDEFGSDEFG est une pyramide régulière de sommet SS et de base carrée DEFG.DEFG.

  • Le point OO est le centre du carré DEFG.DEFG.
  • [SO][SO] est la hauteur de la pyramide.
  • Quel est la nature du triangle OEF  ?OEF\;?

    Correction
    Ici on sait que DEFGDEFG est un carré.
  • Rappel : Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et perpendiculairement.
  • Donc on en déduit que : (DF)(GE).(DF)\perp(GE).
    On peut donc conclure que le triangle EOF est rectangle en O.
  • Question 2
    Ici on donne OF=8  cmOF=\sqrt{8}\;cm

    Calculer la longueur du segment [EF][EF]

    Correction
    Ici on sait que DEFGDEFG est un carré.
  • Rappel : Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
  • Donc on en déduit que : DO=OF=GO=OE.DO=OF=GO=OE.
    Comme le triangle OEFOEF est rectangle en OO avec OF=OE=8OF=OE = \sqrt{8} cm.
    On peut appliquer le théorème de Pythagore :
    EF2=OF2+OE2EF^{2} =OF^{2} +OE^{2}

    donc :
    EF2=(8)2+(8)2EF^{2} =\left(\sqrt{8}\right)^{2} +\left(\sqrt{8}\right)^{2}
    EF2=8+8EF^{2} =8+8
    EF2=16EF^{2} =16

    Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de EFEF.

    D'où :
    EF=16EF=\sqrt{16}

    Ainsi :
    EF=4EF=4 cm

    La mesure de EFEF est donc de 44 cm.
  • Question 3
    Ici SOSO est la hauteur de la pyramide SDEFG.SDEFG.
  • Ici on donne SO=12  cm.SO=12\;cm.
  • Calculer le volume de la pyramide SDEFG.SDEFG.

    Correction
    • Pour calculer le volume d'une pyramide, on utilise la formule ci-dessous :
      Volumepyramide=Airedelabase×lahauteur3\footnotesize\color{red}Volume_{\;pyramide}=\frac{Aire\;de\;la\;base\times{la\;hauteur}}{3}
    Ici on sait que la base de la pyramide est un carré.
    Or pour rappel, l'aire d'un carré est : Airecarreˊ=co^teˊ×co^teˊAire_{carré}=côté\times{côté}
    Airecarreˊ=4×4=16  cm2Aire_{carré}=4\times{4}=16\;cm^2
    Maintenant que l'on connait l'aire de la base, on peut calculer le volume de la pyramide :
    Volume    pyramide=Aire  de  la  base×la  hauteur3\small\color{red}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{Aire\;de\;la\;base\times{la\;hauteur}}{3}
    Volume    pyramide=16×123        \color{black}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{16\times{12}}{3}\;\;\Rightarrow\;\;Ici la hauteur est de 12 cm.
    Volume    pyramide=1923=64  cm3\boxed{\color{black}Volume_{\;\;pyramide}=\frac{192}{3}=64\;cm^3}