Exercices types : 2ème partie

Sur les $20$ boules du sac, $1$ seule boule porte le numéro $13$, par conséquent la probabilité de tirer la boule $13$ est de : $\blue{\boxed{\frac{1}{13}}}$

Il y a $10$ boules numérotées par un nombre pair : $\textbf{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}$
On a un total de $20$ boules , donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair est : $\blue{\boxed{\frac{10}{20}=\frac{1}{2}}}$

Les multiples de $4$ sont : $\textbf{4, 8, 12, 16, 20}$
Donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro multiple de 4 est de : $\blue{\boxed{\frac{5}{20}=\frac{1}{4}}}$

Les diviseurs de $4$ sont : $\textbf{4, 2, 1}$
Donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro diviseur de 4 est de : $\blue{\boxed{\frac{3}{20}}}$

Or$\;$ $\blue{\boxed{\frac{5}{20}>\frac{3}{20}}}$,
$\textbf{donc la probabilité d’obtenir un multiple de 4 est plus grande que celle d’obtenir un diviseur de 4}$.

Les nombres premiers entre $1$ et $20$, sont : $\textbf{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$, soit $8$ nombres premiers.
Donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier est de : $\blue{\boxed{\frac{8}{20}=\frac{2}{5}}}$

Les numéros pairs sont : $\textbf{2, 4, 6, 8, 10, 12}$
Donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair est de : $\blue{\boxed{\frac{6}{12}=\frac{1}{2}}}$

Les multiples de $3$ sont : $\textbf{3, 6, 9, 12}$
Donc la probabilité de tirer une boule portant un numéro multiple de 3 est de : $\blue{\boxed{\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}}$

Or$\;$ $\blue{\boxed{\frac{6}{12}>\frac{4}{12}}}$, On peut donc en conlure :
$\textbf{que la probabilité d’obtenir un numéro pair est plus grande que celle d’obtenir un multiple de 3}$.

Tous les numéros sont inférieurs à $20$ : la probabilité est donc égale à $\blue{\bf{1}}$, ou $\color{blue}100\%$

Les diviseurs de $6$ sont : $\bf{1, 2, 3, 6}$.
Il reste donc $8$ boules restantes.

parmi les $8$ boules restantes, $(4,\;5,\;7,\;8,\;9,\;10,\;11,\;12)$, les nombres premiers sont : $\bf{5, 7, 11}$. Soit $3$ boules.
La probabilité d’obtenir un numéro qui soit un nombre premier est donc égale à $\blue{\boxed{\frac{3}{8}=0,375}}$

Les issues sont : $\blue{\bf{A, B, K, L, V}}$.

$\textbf{a.}$ Parmi les $7$ lettres, il y a un seul $L$.
Donc la probabilité que la lettre tirée soit un $L$ est : $\blue{\boxed{\frac{1}{7}}}$

$\textbf{b.}$ Parmi les $7$ lettres, il y en a $4$ qui ne sont pas la lettre $A$ : $\;$$({\bf{B, K, L, V})}$. Donc la probabilité de ne pas tirer un $A$ est : $\blue{\boxed{\frac{4}{7}}}$

Après avoir mangé un gâteau, il reste donc $2$ baklavas à base de pistaches, $4$ baklavas à base de noisettes et $3$ baklavas à base de noix. Soit $9$ gâteaux au total.
La probabilité de tirer un gâteau à base de noix est donc : $\blue{\boxed{\frac{3}{9}=\frac{1}{3}}}$
La probabilité de tirer un gâteau à base de noisettes est donc : $\blue{\boxed{\frac{4}{9}}}$
Or$\;$ $\blue{\boxed{\frac{4}{9}>\frac{3}{9}}}$,
$\blue{\textbf{Par conséquent on peut en conclure que Laura a tort.}}$

Cette expérience aléatoire n’a que deux issues : boule verte et boule bleue.$\textbf{La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1}$.
C'est à dire que la probabilité d'obtenir une boule bleue $=1-$ la probabilité d'obtenir une boule verte.
Donc la probabilité d’obtenir une boule bleue est égale à : $\blue{\boxed{1-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}}}$

Chaque tirage est indépendant du précédent, les probabilités des différentes issues $\textbf{\blue{ne sont pas modifiées}}$.
Donc Paul au $7^e$ tirage aura $\frac{2}{5}$ de chances d'obtenir une boule verte et $\frac{3}{5}$ de chances d’obtenir une boule bleue.
Or : $\;\;$ ${\color{blue}\frac{2}{5}<\frac{3}{5}}$
On peut donc conclure qu'à chaque tirage Paul aura toujours plus de chance d'obtenir une boule bleue qu'une boule verte.

La probabilité de tirer une boule verte est de $\frac{2}{5}$ ce qui correspond à 8 boules vertes.
Posons $x$ le nombre total de boules dans l'urne. On a donc $\frac{8}{x}$ boules vertes dans l'urne.
On a $2$ rapports égaux qui représentent la même quantité. $(\frac{2}{5}\;\;et\;\; \frac{8}{x})$
Il nous faut donc résoudre l'équation suivante : $\;\;\;\;\;$$\frac{2}{5}=\frac{8}{x}$
Ici on peut appliquer le produit en croix : $2\times{x}=5\times{8}$
$2x=40$
$\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{40}{\color{blue}2}$ $\;\;\;$On divise chaque membre par le nombre devant le $x$ qui ici vaut ${\color{blue}2}$
$x=20$
Cela signifie que l'urne contient exactement $20$ boules.
Il y a $8$ boules vertes, on peut donc conclure qu'il y a ${\text\color{blue}12 boules bleues dans l'urne.}$