Probabilités

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

16 min
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Question 1
Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci-dessous représente le contenu de chacune des urnes.
On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :
  • le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne DD
  • le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne UU
    • Exemple : en tirant la boule 1\fbox{1} de l’urne DD et ensuite la boule 5\fbox{5} de l’urne UU, on forme le nombre 1515.

    A-t-on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair?

    Correction
    On peut lister dans un premier temps les combinaisons possibles\textbf{On peut lister dans un premier temps les combinaisons possibles} :
  • 12,16,15,1312,16,15,13
  • 22,26,25,2322,26,25,23
  • 32,36,35,3332,36,35,33
    On peut obtenir :12,16,22,26,32,36{12,16,22,26,32,36} soit 66 nombres pairs.
    On peut obtenir :13,15,23,25,33,35{13,15,23,25,33,35} soit 66 nombres impairs.
    On a autant de chance\textbf{autant de chance} de former un nombre pair que de former un nombre impair.
    • Question 2

    a.\textbf{a.} Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu’on peut former lors de cette expérience.
    b.\textbf{b.} Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à 16\frac{1}{6}.

    Correction
  • Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre lui-même.

    • a.\textbf{a.} On peut lister dans un premier temps les combinaisons possibles\textbf{On peut lister dans un premier temps les combinaisons possibles} :
  • 12,16,15,1312,16,15,\red{13}
  • 22,26,25,2322,26,25,\red{23}
  • 32,36,35,3332,36,35,33
    Les nombres premiers sont : 1313 et 2323 soit deux nombres premiers.
    b.\textbf{b.} Il y 22 nombres premiers sur 1212 nombres possibles.
    La probabilité de former un nombre premier est donc égale à : 212\blue{\boxed{\frac{2}{12}}} soit 16\blue{\boxed{\frac{1}{6}}} après simplification de la fraction.

    • Question 3

    Définir un évènement dont la probabilité de réalisation est égale à 13\frac{1}{3}.

    Correction
    Par exemple l’évènement : «obtenir un nombre supeˊrieur aˋ 30»\textbf{«obtenir un nombre supérieur à 30»} a une probabilité de 412=13\blue{\boxed{\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}}
    En effet les nombres supérieurs à 3030 sont : 32,36,35,3332,36,35,33. Soit 44 nombres sur 1212.