Priorité de calculs avec les nombres rationnels ( fractions)

Utiliser les priorités de calculs - Exercice 3

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.\small\text{{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}}
2°) Savoir  effectuer  un  enchainement  d’opeˊrations  en  respectant  les  reˋgles  de  prioriteˊs.\small\text{{\color{red}2°) Savoir\;effectuer\;un\;enchainement\;d’opérations\;en\;respectant\;les\;règles\;de\;priorités.}}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=(199+83):19A=\left(\frac{19}{9}+\frac{8}{3}\right):{\frac{1}{9}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
A=(199+83):19    ⇒  A={\color{brown}\left(\frac{19}{9}+\frac{8}{3}\right)}:{\frac{1}{9}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
A=(199+8×33×3):14A={\color{brown}\left(\frac{19}{9}+\frac{8\times{\color{blue}3}}{3\times{\color{blue}3}}\right)}:{\frac{1}{4}}     \;\;     ⇒  \;\;\Rightarrow\;Ici on met les fractions entre parenthèses au même dénominateur. (Car on a une addition).
A=(199+249):19A={\color{brown}\left(\frac{19}{9}+\frac{24}{9}\right)}:{\frac{1}{9}}
A=(19+249):19A={\color{brown}\left(\frac{19+24}{9}\right)}:{\frac{1}{9}}
A=439×91A=\frac{43}{9}\times{\frac{9}{1}}
A=43×99×1A=\frac{43\times9}{9\times1}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
A=43×99×1A=\frac{43\times\cancel{\color{red}9}}{\cancel{\color{red}9}\times1}
A=43\color{blue}\boxed{A=43}
Question 2

B=49+56×83B=\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\times{\frac{8}{3}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
B=49+56×83    ⇒  B=\frac{4}{9}+\color{brown}\frac{5}{6}\times{\frac{8}{3}}\;\;\Rightarrow\;Ici la multiplication est prioritaire.
B=49+5×86×3B=\frac{4}{9}+\color{brown}\frac{5\times8}{6\times3}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
B=49+4018B=\frac{4}{9}+\color{brown}\frac{40}{18}
B=4×29×2+4018B=\frac{4\times{\color{blue}2}}{9\times{\color{blue}2}}+\frac{40}{18}    \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une addition).
B=818+4018B=\frac{8}{18}+\frac{40}{18}
B=8+4018B=\frac{8+40}{18}
B=4818=8×63×6B=\frac{48}{18}=\frac{8\times\cancel{\color{red}6}}{3\times\cancel{\color{red}6}}
B=83\color{blue}\boxed{B=\frac{8}{3}}
Question 3

C=(−47−85)×52C=\left(-\frac{4}{7}-\frac{8}{5}\right)\times{\frac{5}{2}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
C=(−47−85)×52    ⇒  C={\color{brown}\left(-\frac{4}{7}-\frac{8}{5}\right)}\times{\frac{5}{2}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
C=(−4×57×5−8×75×7)×52C={\color{brown}\left(-\frac{4\times{\color{blue}5}}{7\times{\color{blue}5}}-\frac{8\times{\color{blue}7}}{5\times{\color{blue}7}}\right)}\times{\frac{5}{2}}     \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
C=(−2035−5635)×52C={\color{brown}\left(-\frac{20}{35}-\frac{56}{35}\right)}\times{\frac{5}{2}}
C=(−20−5635)×52C={\color{brown}\left(\frac{-20-56}{35}\right)}\times{\frac{5}{2}}
C=−7635×52C=-\frac{76}{35}\times{\frac{5}{2}}
C=−76×535×2C=-\frac{76\times5}{35\times2}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
C=−38×2×57×5×2C=-\frac{38\times\cancel{\color{red}2}\times\cancel{\color{green}5}}{7\times\cancel{\color{green}5}\times\cancel{\color{red}2}}
C=−387\color{blue}\boxed{C=-\frac{38}{7}}
Question 4

D=−125+73−86D=-\frac{12}{5}+\frac{7}{3}-\frac{8}{6}

Correction
D=−125+73−86D=-\frac{12}{5}+\frac{7}{3}-\frac{8}{6}
D=−12×65×6+7×103×10−8×56×5D=-\frac{12\times\color{blue}6}{5\times\color{blue}6}+\frac{7\times\color{blue}10}{3\times\color{blue}10}-\frac{8\times\color{blue}5}{6\times\color{blue}5}     \;\;⇒  \Rightarrow\; Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
D=−7230+7030−4030D=-\frac{72}{30}+\frac{70}{30}-\frac{40}{30}
D=−72+70−4030D=\frac{-72+70-40}{30}
D=−4230=−7×65×6D=-\frac{42}{30} = -\frac{7\times\cancel{\color{red}6}}{5\times\cancel{\color{red}6}}
D=−75\color{blue}\boxed{D=-\frac{7}{5}}
Question 5

E=(98−35)(46−107)E=\frac{\large\left(\frac{9}{8}-\frac{3}{5}\right)}{{\large\left(\frac{4}{6}-\frac{10}{7}\right)}}

Correction
E=(98−35)(46−107)=(98−35):(46−107)E=\frac{\large\left(\frac{9}{8}-\frac{3}{5}\right)}{{\large\left(\frac{4}{6}-\frac{10}{7}\right)}} =\left(\frac{9}{8}-\frac{3}{5}\right):\left(\frac{4}{6}-\frac{10}{7}\right)
E=(98−35):(46−107)    ⇒  \small{E={\color{brown}\left(\frac{9}{8}-\frac{3}{5}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{4}{6}-\frac{10}{7}\right)}}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
E=(9×58×5−3×85×8):(4×76×7−10×67×6)⇒\footnotesize{E={\color{brown}\left(\frac{9\times5}{8\times5}-\frac{3\times8}{5\times8}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{4\times7}{6\times7}-\frac{10\times6}{7\times6}\right)}}}\Rightarrow Ici on a une soustraction et une addition de fractions, on les mets au même dénominateur.
E=(4540−2440):(2842−6042)E={\color{brown}\left(\frac{45}{40}-\frac{24}{40}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{28}{42}-\frac{60}{42}\right)}}
E=(45−2440):(28−6042)E={\color{brown}\left(\frac{45-24}{40}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{28-60}{42}\right)}}
E=(2140):(−3242)  E={\color{brown}\left(\frac{21}{40}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{-32}{42}\right)}}\;Ici on a une division de 2 fractions, on applique donc la règle de la division.
E=−(2140)×(4232)  E=-{\color{brown}\left(\frac{21}{40}\right)}\times{{\color{blue}\left(\frac{42}{32}\right)}}\;Ici on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
E=−21×4240×32E=-\frac{21\times42}{40\times32}     \;\; ⇒  \Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
E=−21×21×240×16×2E=-\frac{21\times21\times{\color{red}2}}{40\times16\times{\color{red}2}}
E=−21×21×240×16×2E=-\frac{21\times21\times\cancel{\color{red}2}}{40\times16\times\cancel{\color{red}2}}
E=−21×2140×16E=-\frac{21\times21}{40\times16}
E=−441640\color{blue}\boxed{E=-\frac{441}{640}}