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Utiliser les priorités de calculs - Exercice 2

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.\small\text{{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}}
2°) Savoir  effectuer  un  enchainement  d’opeˊrations  en  respectant  les  reˋgles  de  prioriteˊs.\small\text{{\color{red}2°) Savoir\;effectuer\;un\;enchainement\;d’opérations\;en\;respectant\;les\;règles\;de\;priorités.}}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=23×(25+46)A={\frac{2}{3}}\times\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{6}\right)

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
A=23×(25+46)    ⇒  A=\frac{2}{3}\times{\color{brown}\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{6}\right)}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
A=23×(2×65×6+4×56×5)A=\frac{2}{3}\times{\color{brown}\left(\frac{2\times{\color{blue}6}}{5\times{\color{blue}6}}+\frac{4\times{\color{blue}5}}{6\times{\color{blue}5}}\right)}     \;\;     ⇒  \;\;\Rightarrow\;Ici on met les fractions entre parenthèses au même dénominateur. (Car on a une addition).
A=23×(1230+2030)A=\frac{2}{3}\times{\color{brown}\left(\frac{12}{30}+\frac{20}{30}\right)}
A=23×(12+2030)A=\frac{2}{3}\times{\color{brown}\left(\frac{12+20}{30}\right)}
A=23×3230A=\frac{2}{3}\times\frac{32}{30}
A=2×323×30A=\frac{2\times32}{3\times30}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
A=2×323×2×15A=\frac{{\cancel{\color{red}2}}\times32}{3\times{\cancel{\color{red}2}}\times15}    \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on effectue les simplifications des facteurs identiques au numérateur et dénominateur.
A=3245\color{blue}\boxed{A=\frac{32}{45}}
Question 2

B=−54+67×114B=-\frac{5}{4}+\frac{6}{7}\times{\frac{11}{4}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
B=−54+67×114  B=-\frac{5}{4}+\color{brown}\frac{6}{7}\times{\frac{11}{4}}\;Ici la parenthèse est prioritaire.
B=−54+6×117×4B=-\frac{5}{4}+\color{brown}\frac{6\times11}{7\times4}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
B=−5×74×7+6628B=-\frac{5\times{\color{blue}7}}{4\times{\color{blue}7}}+\frac{66}{28}    \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une addition).
B=−3528+6628B=-\frac{35}{28}+\frac{66}{28}
B=−35+6628B=\frac{-35+66}{28}
B=3128\color{blue}\boxed{B=\frac{31}{28}}
Question 3

C=(−1412−94)×15C=\left(-\frac{14}{12}-\frac{9}{4}\right)\times{\frac{1}{5}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
C=(−1412−94)×15    ⇒  C={\color{brown}\left(-\frac{14}{12}-\frac{9}{4}\right)}\times{\frac{1}{5}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
C=(−1412−9×34×3)×15C={\color{brown}\left(-\frac{14}{12}-\frac{9\times{\color{blue}3}}{4\times{\color{blue}3}}\right)}\times{\frac{1}{5}}     \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
C=(−1412−2712)×15C={\color{brown}\left(-\frac{14}{12}-\frac{27}{12}\right)}\times{\frac{1}{5}}
C=(−14−2712)×15C={\color{brown}\left(\frac{-14-27}{12}\right)}\times{\frac{1}{5}}
C=−4112×15C=-\frac{41}{12}\times{\frac{1}{5}}
C=−41×112×5C=-\frac{41\times1}{12\times5}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
C=−4160\color{blue}\boxed{C=-\frac{41}{60}}
Question 4

D=−32−98−1316D=-\frac{3}{2}-\frac{9}{8}-\frac{13}{16}

Correction
D=−32−98−1316D=-\frac{3}{2}-\frac{9}{8}-\frac{13}{16}
D=−3×82×8−9×28×2−1316D=-\frac{3\times\color{blue}8}{2\times\color{blue}8}-\frac{9\times\color{blue}2}{8\times\color{blue}2}-\frac{13}{16}     \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
D=−2416−1816−1316D=-\frac{24}{16}-\frac{18}{16}-\frac{13}{16}
D=−24−18−1316D=\frac{-24-18-13}{16}
D=−5516\color{blue}\boxed{D=-\frac{55}{16}}
Question 5

E=(74−115):(89−56)E=\left(\frac{7}{4}-\frac{11}{5}\right):{\left(\frac{8}{9}-\frac{5}{6}\right)}

Correction
E=(74−115):(89−56)    ⇒  \small{E={\color{brown}\left(\frac{7}{4}-\frac{11}{5}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{8}{9}-\frac{5}{6}\right)}}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
E=(7×54×5−11×45×4):(8×29×2−5×36×3)⇒\small{E={\color{brown}\left(\frac{7\times5}{4\times5}-\frac{11\times4}{5\times4}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{8\times2}{9\times2}-\frac{5\times3}{6\times3}\right)}}}\Rightarrow On met les fractions au même dénominateur. (Car on a des soustractions de fractions).
E=(3520−4420):(1618−1518)E={\color{brown}\left(\frac{35}{20}-\frac{44}{20}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{16}{18}-\frac{15}{18}\right)}}
E=(35−4420):(16−1518)E={\color{brown}\left(\frac{35-44}{20}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{16-15}{18}\right)}}
E=(−920):(118)  E={\color{brown}\left(\frac{-9}{20}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{1}{18}\right)}}\;Ici on a une division de 2 fractions, on applique donc la règle de la division.
E=(−920)×(181)  E={\color{brown}\left(\frac{-9}{20}\right)}\times{{\color{blue}\left(\frac{18}{1}\right)}}\;Ici on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
E=−9×1820×1E=\frac{-9\times18}{20\times1}     \;\; ⇒  \Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux.(Car on a une multiplication de fractions).
E=−9×9×210×2E=\frac{-9\times9\times{\color{red}2}}{10\times{\color{red}2}}
E=−9×9×210×2E=\frac{-9\times9\times{\cancel{\color{red}2}}}{10\times{\cancel{\color{red}2}}}
E=−9×910E=\frac{-9\times9}{10}
E=−8110\color{blue}\boxed{E=-\frac{81}{10}}

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