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Utiliser les priorités de calculs - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.\small\text{{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}}
2°) Savoir  effectuer  un  enchainement  d’opeˊrations  en  respectant  les  reˋgles  de  prioriteˊs.\small\text{{\color{red}2°) Savoir\;effectuer\;un\;enchainement\;d’opérations\;en\;respectant\;les\;règles\;de\;priorités.}}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=(37+52)×12A=\left(\frac{3}{7}+\frac{5}{2}\right)\times{\frac{1}{2}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
A=(37+52)×12    ⇒  A={\color{brown}\left(\frac{3}{7}+\frac{5}{2}\right)}\times{\frac{1}{2}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
A=(3×27×2+5×72×7)×12A={\color{brown}\left(\frac{3\times{\color{blue}2}}{7\times{\color{blue}2}}+\frac{5\times{\color{blue}7}}{2\times{\color{blue}7}}\right)}\times{\frac{1}{2}}     \;\;     ⇒  \;\;\Rightarrow\;Ici on met les fractions entre parenthèses au même dénominateur. (Car on a une addition).
A=(614+3514)×12A={\color{brown}\left(\frac{6}{14}+\frac{35}{14}\right)}\times{\frac{1}{2}}
A=(6+3514)×12A={\color{brown}\left(\frac{6+35}{14}\right)}\times{\frac{1}{2}}
A=4114×12A=\frac{41}{14}\times{\frac{1}{2}}
A=41×114×2A=\frac{41\times1}{14\times2}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
A=4128\color{blue}\boxed{A=\frac{41}{28}}
Question 2

B=43+72×94B=\frac{4}{3}+\frac{7}{2}\times{\frac{9}{4}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
B=43+72×94    ⇒  B=\frac{4}{3}+\color{brown}\frac{7}{2}\times{\frac{9}{4}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
B=43+7×92×4B=\frac{4}{3}+\color{brown}\frac{7\times9}{2\times4}     \;\; Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
B=43+638B=\frac{4}{3}+\color{brown}\frac{63}{8}
B=4×83×8+63×38×3B=\frac{4\times{\color{blue}8}}{3\times{\color{blue}8}}+\frac{63\times{\color{blue}3}}{8\times{\color{blue}3}}    \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une addition).
B=3224+18924B=\frac{32}{24}+\frac{189}{24}
B=22124\color{blue}\boxed{B=\frac{221}{24}}
Question 3

C=(−511−43)×13C=\left(-\frac{5}{11}-\frac{4}{3}\right)\times{\frac{1}{3}}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
C=(−511−43)×13    ⇒  C={\color{brown}\left(-\frac{5}{11}-\frac{4}{3}\right)}\times{\frac{1}{3}}\;\;\Rightarrow\;Ici les parenthèses sont prioritaires.
C=(−5×311×3−4×113×11)×13C={\color{brown}\left(-\frac{5\times{\color{blue}3}}{11\times{\color{blue}3}}-\frac{4\times{\color{blue}11}}{3\times{\color{blue}11}}\right)}\times{\frac{1}{3}}     \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
C=(−1533−4433)×13C={\color{brown}\left(-\frac{15}{33}-\frac{44}{33}\right)}\times{\frac{1}{3}}
C=(−15−4433)×13C={\color{brown}\left(\frac{-15-44}{33}\right)}\times{\frac{1}{3}}
C=−5933×13C=-\frac{59}{33}\times{\frac{1}{3}}
C=−59×133×3C=-\frac{59\times1}{33\times3}     \;\;   ⇒  \;\Rightarrow\;Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
C=−5999\color{blue}\boxed{C=-\frac{59}{99}}
Question 4

D=−12−13−14D=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}

Correction
    1°)1°) On effectue en priorité les calculs situés entre parenthèses.
    2°)2°) Ensuite on effectue les carrés et les cubes.
    3°)3°) Puis on effectue les multiplications et les divisions, qui sont prioritaires sur les additions et soustractions.
D=−12−13−14D=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}
D=−1×62×6−1×43×4−1×34×3D=-\frac{1\times\color{blue}6}{2\times\color{blue}6}-\frac{1\times\color{blue}4}{3\times\color{blue}4}-\frac{1\times\color{blue}3}{4\times\color{blue}3}     \;\;⇒  \Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
D=−612−412−312D=-\frac{6}{12}-\frac{4}{12}-\frac{3}{12}
D=−6−4−312D=\frac{-6-4-3}{12}
D=−1312\color{blue}\boxed{D=-\frac{13}{12}}
Question 5

E=(23−135):(43−17)E=\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{5}\right):{\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{7}\right)}

Correction
E=(23−135):(43−17)  ⇒\small{E={\color{brown}\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{5}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{7}\right)}}}\;\RightarrowIci les parenthèses sont prioritaires.
E=(2×53×5−13×35×3):(4×73×7−1×37×3)⇒\small{E={\color{brown}\left(\frac{2\times5}{3\times5}-\frac{13\times3}{5\times3}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{4\times7}{3\times7}-\frac{1\times3}{7\times3}\right)}}}\Rightarrow On met les fractions au même dénominateur. (Car on a des soustractions de fractions).
E=(1015−3915):(2821−321)E={\color{brown}\left(\frac{10}{15}-\frac{39}{15}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{28}{21}-\frac{3}{21}\right)}}
E=(10−3915):(28−321)E={\color{brown}\left(\frac{10-39}{15}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{28-3}{21}\right)}}
E=(−2915):(2521)  ⇒E={\color{brown}\left(\frac{-29}{15}\right)}:{{\color{blue}\left(\frac{25}{21}\right)}}\;\Rightarrow Ici on a une division de 2 fractions, on applique donc la règle de la division.
E=(−2915)×(2125)  E={\color{brown}\left(\frac{-29}{15}\right)}\times{{\color{blue}\left(\frac{21}{25}\right)}}\;Ici on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
E=−29×2115×25E=\frac{-29\times21}{15\times25}     \;\; ⇒  \Rightarrow\; Ici on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Car on a une multiplication de fractions).
E=−29×7×35×3×25E=\frac{-29\times7\times{\color{red}3}}{5\times{\color{red}3}\times25}
E=−29×7×35×3×25E=\frac{-29\times7\times{\cancel{\color{red}3}}}{5\times{\cancel{\color{red}3}}\times25}
E=−29×73×25E=\frac{-29\times7}{3\times25}
E=−203125\color{blue}\boxed{E=-\frac{203}{125}}