Multiplier des nombres rationnels (fractions)

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

15 min
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Question 1
Au début de sa journée, Adam boit 15\frac{1}{5} de sa bouteille d'eau, puis 14\frac{1}{4} de ce qu'il lui reste au déjeuner.

Quelle fraction de boisson lui reste-t-il avant son déjeuner ?

Correction
La fraction totale d'eau dans sa bouteille est de 100100\frac{100}{100} ou 11.
Donc afin de déterminer la fraction restante avant son déjeuner, il suffit de soustraire la quantité bu a la quantité totale.
Quantité totale =100100=\frac{100}{100} ou 11.
Quantité bu avant le déjeuner =15.=\frac{1}{5}.
Quantité restante =115=1-\frac{1}{5}
Quantité restante =5515    =\frac{5}{5}-\frac{1}{5}\;\Rightarrow\;Ici on met les fractions au même dénominateur.
Quantité restante =45=\frac{4}{5}
Donc avant son déjeuner il lui reste 45{\frac{4}{5}} de sa bouteille d'eau.
Question 2

Quelle fraction de sa bouteille d'eau a-t-il bu à son déjeuner ?

Correction
  • En langage mathématique, le mot "de" se traduit par une multiplication.
  • Donc pour calculer une fraction "de quelque chose," on multiplie "ce quelque chose" par la fraction.
On sait qu' à son déjeuner, il boit 14\frac{1}{4} de ce qu'il lui reste.
Or avant son déjeuner il lui reste 45\frac{4}{5} de sa bouteille d'eau c'est-à-dire qu'il boit : 14\frac{1}{4} de 45\frac{4}{5} .
Donc le midi il boit : 14\frac{1}{4} de 45    \frac{4}{5}\;\;Ici on remplace le "de", "par le signe "multiplié" soit :
14×45=1×44×5\frac{1}{4}\times{\frac{4}{5}}=\frac{1\times4}{4\times5}
1×44×5=1×44×5=1×44×5=15\frac{1\times4}{4\times5}=\frac{1\times{\color{blue}4}}{{\color{blue}4}\times5}=\frac{1\times{\cancel{\color{blue}4}}}{{\cancel{\color{blue}4}}\times5}=\frac{1}{5}
Donc à son déjeuner il a bu 15\frac{1}{5}de sa bouteille d'eau.
Question 3

Quelle fraction de sa bouteille d'eau a-t-il bu depuis le début de sa journée?

Correction
Au début de sa journée, Adam boit 15\color{blue}\frac{1}{5}de sa bouteille d'eau.
De la question précédente, on sait qu'au son déjeuner il a bu également 15\color{blue}\frac{1}{5} de sa bouteille d'eau.
Déterminons la quantité bu :
Ici il suffit d'additionner la quantité bu au début de sa journée ainsi qu'au déjeuner, soit :
15+15=1+15        \frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{1+1}{5}\;\;\Rightarrow\;\;Ici on applique la règle de la somme de deux fractions.
15+15=25\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}
On peut donc conclure qu'après son déjeuner, il a bu 25\frac{2}{5} de sa bouteille d'eau.
Question 4

Quelle fraction de sa bouteille d'eau lui reste-t-il après son déjeuner ?

Correction
De la question précédente, on sait que depuis le début de la journée, il a bu 25\frac{2}{5} de sa bouteille d'eau.
La fraction total d'eau dans sa bouteille est de 100100\frac{100}{100} ou 11.
Donc pour déterminer la quantité restante, il suffit de soustraire la quantité bu à la fraction totale dans sa bouteille, soit :
125=11251-\frac{2}{5}=\frac{1}{1}-\frac{2}{5}
1125=1×51×525        \frac{1}{1}-\frac{2}{5}=\frac{1\times{\color{red}5}}{1\times{\color{red}5}}-\frac{2}{5}\;\;\Rightarrow\;\;Ici on met les fractions au même dénominateur. (Car on a une soustraction).
1125=5525\frac{1}{1}-\frac{2}{5}=\frac{5}{5}-\frac{2}{5}
1125=525=35\frac{1}{1}-\frac{2}{5}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}
On peut donc conclure qu' après son déjeuner, il lui reste 35\frac{3}{5} de sa bouteille d'eau.
Question 5
Enfin au dîner il boit 34\frac{3}{4} de ce qu'il lui reste.

Quelle fraction de sa bouteille a-t-il bu à son dîner?

Correction
On sait qu’ aˋ son dıˆner, il boit\footnotesize\text{On sait qu' à son dîner, il boit} 34\frac{3}{4} de ce qu’il lui reste.\footnotesize\text{de ce qu'il lui reste.}
Or apreˋs son deˊjeuner il lui reste\footnotesize\text{Or après son déjeuner il lui reste} 35\frac{3}{5} de sa bouteille d’eau c’est-aˋ-dire qu’il boit : \footnotesize\text{de sa bouteille d'eau c'est-à-dire qu'il boit : } 34\frac{3}{4} de 35\frac{3}{5} .
  • En langage mathématique, le mot "de" se traduit par une multiplication.
  • Donc pour calculer une fraction "de quelque chose," on multiplie "ce quelque chose" par la fraction.
Donc le midi il boit : 34\frac{3}{4} de 35    \frac{3}{5}\;\;Ici on remplace le "de", "par le signe "multiplié" soit :
34×35=3×34×5\frac{3}{4}\times{\frac{3}{5}}=\frac{3\times3}{4\times5}
3×34×5=920\frac{3\times3}{4\times5}=\frac{9}{20}
Donc à son dîner, il a bu 920\frac{9}{20} de sa bouteille d'eau.