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Savoir diviser deux fractions - Exercice 4

10 min
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COMPETENCE‾  :  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.{\color{red}\underline{COMPETENCE}\;:\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=476A=\frac{\Large \frac{4}{7}}{6}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
A=476A=\frac{\Large \frac{4}{7}}{6}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : A=476=47:6=47:61\color{red}A=\frac{\Large \frac{4}{7}}{6}=\frac{4}{7}:6=\frac{4}{7}:\frac{6}{1}
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 61.\frac{6}{1}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 61\color{blue}\frac{6}{1} est 16.\color{blue}\frac{1}{6}.
A=476=47×16A=\frac{\Large \frac{4}{7}}{6}=\frac{4}{7}\times\frac{1}{6}
A=47×16=4×17×6=2×2×17×3×2A=\frac{4}{7}\times\frac{1}{6}=\frac{4\times1}{7\times6}=\frac{2\times{\color{red}\cancel2}\times1}{7\times3\times{\color{red}\cancel2}}
A=221\color{blue}\boxed{A=\frac{2}{21}}
Question 2

B=−47314B= \frac{-\Large\frac{4}{7}}{\Large \frac{3}{14}}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
B=−47314B= \frac{-\Large\frac{4}{7}}{\Large \frac{3}{14}}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : −47314=−47:314\color{red}\frac{-\Large\frac{4}{7}}{\Large \frac{3}{14}}=-\frac{4}{7}:\frac{3}{14}
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 314. \frac{3}{14}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 314\color{blue}\frac{3}{14} est 143.\color{blue}\frac{14}{3}.
B=−47:314=−47×143B=-\frac{4}{7}:\frac{3}{14}=-\frac{4}{7}\times\frac{14}{3}
B=−47×143=−4×147×3=−4×2×77×3B=-\frac{4}{7}\times\frac{14}{3}=-\frac{4\times14}{7\times3}=-\frac{4\times2\times{\color{red}\cancel7}}{{\color{red}\cancel7}\times3}
B=−83\color{blue}\boxed{B=-\frac{8}{3}}
Question 3

C=94(−2)C= \frac{\Large\frac{9}{4}}{ (-2)}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
C=94(−2)C= \frac{\Large\frac{9}{4}}{ (-2)}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : C=94(−2)=94:(−21)\color{red}C= \frac{\Large\frac{9}{4}}{ (-2)}=\frac{9}{4}:\left(-\frac{2}{1}\right)
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est −21.-\frac{2}{1}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction −21\color{blue}-\frac{2}{1} est −12.\color{blue}-\frac{1}{2}.
C=94:(−21)=94×(−12)C=\frac{9}{4}:\left(-\frac{2}{1}\right)=\frac{9}{4}\times\left(-\frac{1}{2}\right)
C=94×(−12)=−9×14×2C=\frac{9}{4}\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{9\times1}{4\times2}
C=−98\color{blue}\boxed{C=-\frac{9}{8}}
Question 4

D=−103−97D= \frac{-\Large\frac{10}{3}}{-\Large \frac{9}{7}}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
D=−103−97D= \frac{-\Large\frac{10}{3}}{-\Large \frac{9}{7}}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : −103−97=−103:(−97)\color{red}\frac{-\Large\frac{10}{3}}{-\Large \frac{9}{7}}=-\frac{10}{3}:\left(-\frac{9}{7}\right)
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est (−97).\left(-\frac{9}{7}\right).
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction −97\color{blue}-\frac{9}{7} est −79.\color{blue}-\frac{7}{9}.
D=−103:(−97)=−103×(−79)D=-\frac{10}{3}:\left(-\frac{9}{7}\right)=-\frac{10}{3}\times\left(-\frac{7}{9}\right)       \;\;\; ⟹\color{red}\Longrightarrow       \;\;\;Ici il y a 2 facteurs négatifs, donc le résultat est positif.
D=103×79=10×73×9D=\frac{10}{3}\times\frac{7}{9}=\frac{10\times7}{3\times9}
D=7027\color{blue}\boxed{D=\frac{70}{27}}

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