Diviser des nombres rationnels (fractions)

Savoir diviser deux fractions - Exercice 3

10 min
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COMPETENCE‾  :  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.{\color{red}\underline{COMPETENCE}\;:\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=353A=\frac{3}{\Large \frac{5}{3}}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
A=353A=\frac{3}{\Large \frac{5}{3}}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : A=353=3:53\color{red}A=\frac{3}{\Large \frac{5}{3}}=3:\frac{5}{3}
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 53.\frac{5}{3}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 53\color{blue}\frac{5}{3} est 35.\color{blue}\frac{3}{5}.
A=3:53=31×35A=3:\frac{5}{3}=\frac{3}{1}\times\frac{3}{5}
A=31×35=3×31×5A=\frac{3}{1}\times\frac{3}{5}=\frac{3\times3}{1\times5}
A=95\color{blue}\boxed{A=\frac{9}{5}}
Question 2

B=3415B= \frac{\Large\frac{3}{4}}{\Large \frac{1}{5}}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
B=3415B= \frac{\Large\frac{3}{4}}{\Large \frac{1}{5}}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : 3415=34:15\color{red}\frac{\Large\frac{3}{4}}{\Large \frac{1}{5}}=\frac{3}{4}:\frac{1}{5}
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 15.\frac{1}{5}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 15\color{blue}\frac{1}{5} est 51.\color{blue}\frac{5}{1}.
B=34:15=34×51B=\frac{3}{4}:\frac{1}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{1}
B=34×51=3×54×1B=\frac{3}{4}\times\frac{5}{1}=\frac{3\times5}{4\times1}
B=154\color{blue}\boxed{B=\frac{15}{4}}
Question 3

C=−765C= \frac{-\Large\frac{7}{6}}{ 5}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
C=−765C= \frac{-\Large\frac{7}{6}}{ 5}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : C=−765=−76:51\color{red}C= \frac{-\Large\frac{7}{6}}{ 5}=-\frac{7}{6}:\frac{5}{1}
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 51.\frac{5}{1}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 51\color{blue}\frac{5}{1} est 15.\color{blue}\frac{1}{5}.
C=−76:51=−76×15C=-\frac{7}{6}:\frac{5}{1}=-\frac{7}{6}\times\frac{1}{5}
C=−76×15=−7×16×5C=-\frac{7}{6}\times\frac{1}{5}=-\frac{7\times1}{6\times5}
C=−730\color{blue}\boxed{C=-\frac{7}{30}}
Question 4

D=57−23D= \frac{\Large\frac{5}{7}}{-\Large \frac{2}{3}}

Correction
D=57−23D= \frac{\Large\frac{5}{7}}{-\Large \frac{2}{3}}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on peut écrire la division en une seule ligne soit : 57−23=57:(−23)\color{red}\frac{\Large\frac{5}{7}}{-\Large \frac{2}{3}}=\frac{5}{7}:\left(-\frac{2}{3}\right)
On a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est (−23).\left(-\frac{2}{3}\right).
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction −23\color{blue}-\frac{2}{3} est −32.\color{blue}-\frac{3}{2}.
D=57:(−23)=57×(−32)D=\frac{5}{7}:\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{7}\times\left(-\frac{3}{2}\right)
D=57×(−32)=5×(−3)7×2D=\frac{5}{7}\times\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5\times(-3)}{7\times2}
D=−1514\color{blue}\boxed{D=-\frac{15}{14}}