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Savoir diviser deux fractions - Exercice 2

10 min
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COMPETENCE‾  :  Calculer  avec  des  nombres  rationnels  (fractions),  de  manieˋre  exacte  ou  approcheˊe.{\color{red}\underline{COMPETENCE}\;:\;Calculer\;avec\;des\;nombres\;rationnels\;(fractions),\;de\;manière\;exacte\;ou\;approchée.}
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=53:27A=\frac{5}{3}:\frac{2}{7}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
A=53:27A=\frac{5}{3}:\frac{2}{7}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 27.\frac{2}{7}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 27{\color{blue}\frac{2}{7}} est 72\color{blue}{\frac{7}{2}}. On a donc :
A=53:27=53×72A=\frac{5}{3}:\frac{2}{7}=\frac{5}{3}\times\frac{7}{2}
A=53×72=5×73×2A=\frac{5}{3}\times\frac{7}{2}=\frac{5\times7}{3\times2}
A=356\color{blue}\boxed{A=\frac{35}{6}}
Question 2

B=313:45B=\frac{3}{13}:\frac{4}{5}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :     ⟹\huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
B=313:45B=\frac{3}{13}:\frac{4}{5}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 45.\frac{4}{5}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 45{\color{blue}\frac{4}{5}} est 54\color{blue}{\frac{5}{4}}. On a donc :
B=313:45=313×54B=\frac{3}{13}:\frac{4}{5}=\frac{3}{13}\times\frac{5}{4}
B=313×54=3×513×4B=\frac{3}{13}\times\frac{5}{4}=\frac{3\times5}{13\times4}
B=1552\color{blue}\boxed{B=\frac{15}{52}}
Question 3

C=−67:8−9C=\frac{-6}{7}:\frac{8}{-9}

Correction
C=−67:8−9C=\frac{-6}{7}:\frac{8}{-9}    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 8−9.\frac{8}{-9}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 8−9{\color{blue}\frac{8}{-9}} est −98\color{blue}{\frac{-9}{8}}. On a donc :
C=−67:8−9=−67×(−9)8C=\frac{-6}{7}:\frac{8}{-9}=\frac{-6}{7}\times\frac{(-9)}{8}
C=−67×(−9)8=−6×(−9)7×8C=\frac{-6}{7}\times\frac{(-9)}{8}=\frac{-6\times(-9)}{7\times8}
C=−3×2×(−9)7×4×2C=\frac{-3\times\cancel{\color{red}2}\times(-9)}{7\times4\times\cancel{\color{red}2}}
C=2728\color{blue}\boxed{C=\frac{27}{28}}
Question 4

D=617:(−2)D=\frac{6}{17}:(-2)

Correction
D=617:(−2)D=\frac{6}{17}:(-2)    ⇒    \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est −21.\frac{-2}{1}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction −21{\color{blue}\frac{-2}{1}} est 1−2\color{blue}{\frac{1}{-2}}. On a donc :
D=617:(−2)=617×1(−2)D=\frac{6}{17}:(-2)=\frac{6}{17}\times\frac{1}{(-2)}
D=617×1−2=6×117×(−2)D=\frac{6}{17}\times\frac{1}{-2}=\frac{6\times1}{17\times(-2)}
D=3×217×(−1)×2=3−17D= \frac{3\times\cancel{\color{red}2}}{17\times(-1)\times\cancel{\color{red}2}} = \frac{3}{-17}
D=−317\color{blue}\boxed{D=-\frac{3}{17}}

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