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Diviser des nombres rationnels (fractions)

Savoir diviser deux fractions - Exercice 1

10 min
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COMPETENCE : Calculer avec des nombres rationnels (fractions), de manière exacte ou approchée.
Question 1
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

A=97:52A=\frac{9}{7}:\frac{5}{2}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :
    \huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
A=97:52A=\frac{9}{7}:\frac{5}{2}        \;\;\color{red}\Rightarrow\;\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est 52.\frac{5}{2}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 52\frac{5}{2} est  25{\color{blue}\;\frac{2}{5}}. On a donc :
A=97:52=97×25A=\frac{9}{7}:\frac{5}{2}=\frac{9}{7}\times\frac{2}{5}
A=97×25=9×27×5A=\frac{9}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{9\times2}{7\times5}
A=1835\color{blue}\boxed{A=\frac{18}{35}}
Question 2

B=112:59B=\frac{11}{2}:\frac{5}{9}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :
    \huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
B=112:59B=\frac{11}{2}:\frac{5}{9}      \;\;\color{red}\Rightarrow\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est :  59.\;\frac{5}{9}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 59\color{blue}\frac{5}{9}est 95\color{blue}\frac{9}{5}. On a donc :
B=112:59=112×95B=\frac{11}{2}:\frac{5}{9}=\frac{11}{2}\times\frac{9}{5}
B=112×95=11×92×5B=\frac{11}{2}\times\frac{9}{5}=\frac{11\times9}{2\times5}
B=9910\color{blue}\boxed{B=\frac{99}{10}}
Question 3

C=15:317C=\frac{1}{5}:\frac{3}{17}

Correction
    Pour diviser 2 fractions :
  • On multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième.
    En effet :
    \huge{\color{red}\Longrightarrow} ab:cd=ab×dc\huge{\color{red}\boxed{\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}}}
    Exemple :  \; Calculer   12:35\;\frac{1}{2}:\frac{3}{5}
    Dans un premier temps on détermine l'inverse de la deuxième fraction :
    L'inverse de 35\frac{3}{5} est 53\color{blue}\frac{5}{3}.
    12:35=\frac{1}{2}:\frac{3}{5}=
    12×53=1×52×3=56\frac{1}{2}\times{\frac{5}{3}}=\frac{1\times5}{2\times3}=\color{blue}\frac{5}{6}
C=15:317C=\frac{1}{5}:\frac{3}{17}      \;\;\color{red}\Rightarrow\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est :  317.\;\frac{3}{17}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction 317{\color{blue}\frac{3}{17}} est 173\color{blue}{\frac{17}{3}}.On a donc :
C=15:317=15×173C=\frac{1}{5}:\frac{3}{17}=\frac{1}{5}\times\frac{17}{3}
C=15×173=1×175×3C=\frac{1}{5}\times\frac{17}{3}=\frac{1\times17}{5\times3}
C=1715\color{blue}\boxed{C=\frac{17}{15}}
Question 4

D=56:(1)3D=\frac{5}{6}:\frac{(-1)}{3}

Correction
D=56:(1)3D=\frac{5}{6}:\frac{(-1)}{3}      \;\;\color{red}\Rightarrow\;Ici on a la division de deux fractions, et la deuxième fraction est   (1)3.\;\frac{(-1)}{3}.
On détermine l'inverse de la deuxième fraction :
L'inverse de la deuxième fraction (1)3  est  31=3. On a donc :\frac{(-1)}{3}{\color{blue}\;{\small\text{est}}\;\frac{3}{-1}=-3}.{\small\text{ On a donc :}}
D=56:(1)3=56×(3)D=\frac{5}{6}:\frac{(-1)}{3}=\frac{5}{6}\times(-3)
D=56×(3)=5×(3)6D=\frac{5}{6}\times(-3)=\frac{5\times(-3)}{6}
D=5×(1)×32×3D= \frac{5\times(-1)\times\cancel{\color{red}3}}{2\times\cancel{\color{red}3}}
D=52\color{blue}\boxed{D=-\frac{5}{2}}