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Fonction affine

Exercices types : partie 1 - Exercice 1

25 min
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Question 1
Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules :
  • Formule A : on paie 40  40\;€ pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on paye 10  10\;€ par mois
    de garderie.
  • Formule B : pour les non-adhérents, on paye 18  18\;€ par mois.
  • Pour chacune des formules, calculer le prix payé pour 1010 mois de garderie.

    Correction
    Avec la formule A :
    On paie 40  40\;€ pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on paye 10  10\;€ par mois. Soit :
    40+10×10=40+100=140  euros40+10\times10=40+100={\color{blue}\boxed{140\;euros}}
    Avec la formule B :
    On paye 18  18\;€ par mois Soit :
    18×10=180  euros18\times10={\color{blue}\boxed{180\;euros}}
    Question 2
    On appelle xx le nombre de mois de garderie.
    On note yAy_A le prix payé avec la formule AA et yBy_B le prix payé avec la formule B.B.

    Exprimer yAy_{A} puis yBy_{B} en fonction de x.x.

    Correction
    Avec la formule A :
    on paie 40  40\;€ pour devenir adhérent pour l’année scolaire puis on paye 10  10\;€ par mois.
    Soit xx le nombre de mois de garderie. On a donc :
    yA=40+10×xy_A=40+10\times{x}
    yA=40+10x\color{blue}\boxed{y_A=40+10{x}}
    Avec la formule B :
    On paye 18  18\;€ par mois.
    Soit xx le nombre de mois de garderie. On a donc :
    yB=18×xy_B=18\times{x}
    yB=18x\color{blue}\boxed{y_B=18{x}}
    Question 3

    Représenter graphiquement les fonctions suivantes dans un même repère :
    yA=10x+40y_A = 10x + 40      \;\;\; et      \;\;\; yB=18xy_B=18x
  • On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse.
  • On prendra 1 cm pour 10 € en ordonnée.
  • Correction
    Question 4

    A partir du graphique, déterminer le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes.

    Correction
    Le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes correspond au point intersection des deux droites yAy_A et yBy_B.
    On peut donc conclure que pour 55 mois d'abonnement, le prix à payer est le même.
    Question 5

    Retrouver le résultat précédent par le calcul.

    Correction
    Le prix à payer est identique, lorsque : yA=yB.y_A=y_B.
    Il faut donc résoudre l'équation : 10x+40=18x10x+40=18x
    • On doit dans un premier temps rassembler les termes en xx dans le membre de gauche.
    10x+40=18x10x+40=18x
    10x+4018x=18x18x10x+40{\color{blue}-18x}=18x{\color{blue}-18x}. On soustrait 18x{\color{blue}18x} à chaque membre.
    8x+40=0-8x+40=0
    8x+4040=040-8x+40{\color{blue}-40}=0{\color{blue}-40}. On soustrait 40{\color{blue}40} à chaque membre.
    8x=40-8x=-40
    8x8=408\frac{-8x}{\color{blue}-8}=\frac{-40}{\color{blue}-8}. On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 8{\color{blue}-8}.
    Ainsi :
    x=5x=5

    L'ensemble des solutions est S={5}S=\left\{5\right\}.
    On trouve bien ici la même valeur que la question précédente.
    Question 6

    À partir du graphique, déterminer la formule la plus avantageuse si on ne paie que 44 mois dans l’année.

    Correction
    À l’aide du graphique, on constate que le prix à payer pour 4\color{red}4 mois est de 80\color{red}80 euros avec la formule AA et de 72\color{blue}72 euros avec la formule B.\color{blue}B.
    On peut donc conclure que pour 44 mois d'abonnement, la formule BB est la plus avantageuse.
    Question 7

    On dispose d’un budget de 113.113 €. Combien de mois de garderie au maximum pourra-t-on payer si l’on choisit la formule A?A ?

    Correction
    La formule AA est définie par la fonction suivante : yA=10x+40.y_A=10x+40.
    Pour déterminer le nombre de mois que l'on peut payer avec un budget de 113113 €, il nous faut résoudre l'équation suivante :
    yA=113y_A=113 soit 10x+40=11310x+40=113
    10x+40=11310x+40=113 équivaut successivement à :
    10x+4040=1134010x+40{\color{blue}-40}=113{\color{blue}-40} On soustrait 40\color{blue}40 à chaque membre.
    10x=7310x=73
    10x10=7310\frac{10x}{\color{blue}10}=\frac{73}{\color{blue}10} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 10{\color{blue}10}.
    Ainsi :
    x=7,3x=7,3

    Ici, on peut conclure qu'avec 113113 euros, on pourra payer au maximum 77 mois plein.