Arithmétique

Exercices types : 22 ème partie - Exercice 1

20 min
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Question 1
Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110110 cm de longueur et de 8888 cm de largeur.
Il a reçu la consigne suivante :
«Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte. »

Peut-il choisir de découper des plaques de 1010 cm de côté ? Justifier votre réponse.

Correction
L'ouvrier dispose de plaques de métal de 110110 cm de longueur et de 8888 cm de largeur.
Afin de savoir s'il peut découper des plaques de 1010 cm de côté ( sans pertes) , il nous faut savoir si la longueur et la largeur sont des multiples de 10, ( c'est à dire dans la table de 10).
110=11×10110=11\times{10}      \;\;\Rightarrow\; On en déduit ici que la longueur est bien un multiple de 1010, donc il n'y aura pas de perte pour la longueur.
88=8×10+888=8\times{10}+8      \;\;\Rightarrow\; On en déduit ici que la largeur n'est pas un multiple de 1010, donc il y aura de la perte pour la largeur.
Afin de respecter la consigne, l'ouvrier ne devra pas découper des plaques de 10 cm de côté.
Question 2

Peut-il choisir de découper des plaques de 1111 cm de côté ? Justifier votre réponse

Correction
L'ouvrier dispose de plaques de métal de 110110 cm de longueur et de 8888 cm de largeur.
Afin de savoir s'il peut découper des plaques de 1111 cm de côté ( sans pertes) , il nous faut savoir si la longueur et la largeur sont des multiples de 11, ( c'est à dire dans la table de 11).
110=11×10110=11\times{10}      \;\;\Rightarrow\; On en déduit ici que la longueur est bien un multiple de 11, donc il n'y aura pas de perte pour la longueur.
88=11×888=11\times{8}      \;\;\Rightarrow\; On en déduit ici que la largeur est un multiple de 11, donc il n'y aura pas de perte pour la largeur.
Ici on remarque que 110110 et 8888 sont tout deux des multiples de 1111, donc :
L'ouvrier pourra découper des plaques de 11 cm de côté.
Question 3

Donner la liste des diviseurs de 110110.

Correction
    Méthode pour déterminer les diviseurs d'un nombre :

    1°) On calcul la racine carré du nombre recherché.
    2°) On divise le nombre de départ par tout les nombres entiers allant de 1 à sa racine carrée.
    3°) A chaque division, si le résultat est un nombre entier, alors le diviseur et le résultat seront des diviseurs du nombre .

    Exemple : Déterminer les diviseur de 11.
    1°) On calcul la racine carré de 1111, on obtient : 113,31\sqrt{11}\approx3,31
    2°) On divise 1111 par tout les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est à dire 33.
    11:1=1111:1=11     \;\; donc 1{\color{blue}1} et 11{\color{blue}11} sont des diviseurs de 1111.
    11:2=5,511:2=5,5     \;\; donc 2\color{red}2 n'est pas un diviseur de 11\color{red}11.
    11:33,6611:3\approx3,66     \;\; donc 3\color{red}3 n'est pas un diviseur de 11\color{red}11.
    On en déduit donc que les diviseurs de 1111 sont :(1  ;11).{\color{blue}: ( 1\;; 11 )}.
1°)1°) On calcul la racine carré de 110110, on obtient : 11010,48\sqrt{110}\approx10,48
2°)2°) On divise 110110 par tout les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est à dire 1010.
110:1=110110:1=110    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 110{\color{blue}110} sont des diviseurs de 110.110.
110:2=55110:2=55    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 55{\color{blue}55} sont des diviseurs de 110.110.
110:336,6110:3\approx36,6     \;\; donc 3{\color{red}3} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:4=27,5110:4=27,5    \;\; donc 4{\color{red}4} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:5=22110:5=22    \;\; donc 5{\color{blue}5} et 22{\color{blue}22} sont des diviseurs de 110.110.
110:618,33110:6\approx18,33    \;\; donc 6{\color{red}6} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:715,71110:7\approx15,71    \;\; donc 7{\color{red}7} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:8=13,75110:8=13,75    \;\; donc 8{\color{red}8} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:912,22110:9\approx12,22 donc 9{\color{red}9} n'est pas un diviseur de 110.\color{red}110.
110:10=11110:10=11    \;\; donc 10{\color{blue}10} et 11{\color{blue}11} sont des diviseurs de 110.110.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de 110110, sont : (1  ;  2    ;  5  ;  10  ;  11    ;  22  ;  55    ;  110.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;5\;;\;10\;;\;11\;\;;\;22\;;\;55\;\;;\;110.)}
Question 4

Donner la liste des diviseurs de 8888.

Correction
On utilise le même procédé que la question précédente.
1°)1°) On calcul la racine carré de 8888, on obtient : 889,38.\sqrt{88}\approx9,38.
2°)2°) On divise 8888 par tout les nombres entiers allant de 11 à sa racine carrée, c'est à dire 99.
88:1=8888:1=88    \;\; donc 1{\color{blue}1} et 88{\color{blue}88} sont des diviseurs de 88.88.
88:2=4488:2=44    \;\; donc 2{\color{blue}2} et 44{\color{blue}44} sont des diviseurs de 88.88.
88:329,388:3\approx29,3     \;\; donc 3{\color{red}3} n'est pas un diviseur de 88.\color{red}88.
88:4=2288:4=22    \;\; donc 4{\color{blue}4} et 22{\color{blue}22} sont des diviseurs de 88.88.
88:5=17,688:5=17,6    \;\;     \;\;donc 5{\color{red}5} n'est pas un diviseur de 88.\color{red}88.
88:614,6688:6\approx14,66    \;\; donc 6{\color{red}6} n'est pas un diviseur de 88.\color{red}88.
88:712,5788:7\approx12,57    \;\; donc 7{\color{red}7} n'est pas un diviseur de 88.\color{red}88.
88:8=1188:8=11    \;\; donc 8{\color{blue}8} et 11{\color{blue}11} sont des diviseurs de 88.88.
88:99,7788:9\approx9,77 donc 9{\color{red}9} n'est pas un diviseur de 88.\color{red}88.
On peut donc conclure que tous les diviseurs de 8888, sont :(1  ;  2    ;  4  ;  8  ;  11    ;  22  ;  44    ;  88.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;4\;;\;8\;;\;11\;\;;\;22\;;\;44\;\;;\;88.)}
Question 5
On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles.

Quelle sera la longueur du côté d’un carré ?

Correction
L'ouvrier dispose de plaques de métal de 110110 cm de longueur et de 8888 cm de largeur.
Afin de savoir la longueur du carré le plus grand possible, , il nous faut déterminer le plus grand diviseur commun à 110 et 88 ( qu'on appelle aussi le PGCD).
La liste des diviseurs de 8888, est :(1  ;  2    ;  4  ;  8  ;  11    ;  22  ;  44    ;  88.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;4\;;\;8\;;\;11\;\;;\;{\color{red}\boxed{22}}\;;\;44\;\;;\;88.)}
La liste des diviseurs de 110110, est :(1  ;  2    ;  5  ;  10  ;  11    ;  22  ;  55    ;  110.){\color{blue}(1\;;\;2\;\;;\;5\;;\;10\;;\;11\;\;;\;{\color{red}\boxed{22}}\;;\;55\;\;;\;110.)}
Ici on remarque que le plus grand diviseur commun à 110110, et 8888 est 22.{\color{red}22}.
L'ouvrier devra découper des carrés de 22  22\;cm.

Question 6

Combien y aura-t-il de carrés par plaques ?

Correction
De la question précédente, on sait que l'ouvrier devra réaliser des carrés de 2222 cm de côtés.
La plaque de métal, mesure 110110 cm de longueur et 8888 cm de largeur.
On à donc :
11022=5\frac{110}{22}=5         \color{red}{\;\;\Rightarrow\;\;} On aura donc 55 carrés en longueur.
8822=4\frac{88}{22}=4         \color{red}{\;\;\Rightarrow\;\;} On aura donc 44 carrés en largeur.
Au total il y aura donc 5×4=205\times4=20 carrés par plaques.