Suites numériques

Suites géométriques - Exercice 4

6 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison q=2q=2 et de premier terme u1=5u_{1} =5.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}. Puis calculer u2u_{2} .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times qqq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
  • Ainsi :
    un+1=un×2u_{n+1} =u_{n}\times2
    Finalement :
    un+1=2unu_{n+1} =2u_{n}
  • Calcul de u2u_{2} .
  • u1+1=2×u1u_{1+1} =2\times u_{1}
    u2=2×u1u_{2} =2\times u_{1}
    u2=2×5u_{2} =2\times 5 d'où :
    u2=10u_{2} =10

    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn .
    Nous pouvons également vous poser la question qui aura le même sens : déterminer l'expression du terme général de unu_{n}.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=5u_{1} =5 et q=2q=2.
    Il en résulte donc que :
    un=5×2n1u_{n} =5\times2^{n-1}