Suites numériques

Expression récurrente d'une suite et calculs de ses premiers termes - Exercice 3

3 min
5
COMPETENCES  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Question 1
Soit nn un entier naturel. On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par : {u0=2un+1=3(un)24un+2n5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5} \end{array}\right.

Calculer u1u_{1} et u2u_{2} .

Correction
  • Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=3(un)24un+2n5u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5, on va remplacer la valeur de nn par 00.
  • Il vient alors :
    u0+1=3(u0)24u0+2×05u_{0+1} =3\left(u_{0} \right)^{2} -4u_{0} +2\times 0-5 . Or u0=2u_0=2, il vient alors que :
    u1=3×224×2+2×05u_{1} =3\times2^{2} -4\times2 +2\times 0-5
    u1=3×485u_{1} =3\times4 -8 -5
    u1=1285u_{1} =12 -8 -5
    Ainsi :
    u1=1u_{1} =-1

  • Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=3(un)24un+2n5u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5, on va remplacer la valeur de nn par 11.

  • Il vient alors :
    u1+1=3(u1)24u1+2×15u_{1+1} =3\left(u_{1} \right)^{2} -4u_{1} +2\times 1-5 . Or u1=1u_1=-1, il vient alors que :
    u2=3×(1)24×(1)+2×15u_{2} =3\times\left(-1 \right)^{2} -4\times\left(-1 \right) +2\times1-5
    u2=3×1+4+25u_{2} =3\times1 +4+2-5
    u2=3+4+25u_{2} =3 +4+2-5
    Ainsi :
    u2=4u_{2} =4