Lina est embauchée dans l'entreprise avec un salaire de 1400 euros. Elle choisit d'être augmentée suivant l'option A. On note Mn son salaire après n années dans l'entreprise. On a : M0=1400.
1
Calculer M1 et M2.
Correction
On a : M1=1400+65 ainsi
M1=1465
M2=1465+65 ainsi
M2=1530
2
Exprimer Mn+1 en fonction de Mn. En déduire la nature de la suite (Mn).
Correction
Soit n un entier naturel. On a :
Mn+1=Mn+65
. La suite (Jn) est alors une suite arithmétique de raison r=65 et de premier terme M0=1400.
3
Exprimer Mn en fonction de n.
Correction
D'après le cours , on sait que : Mn=M0+n×r ce qui nous donne donc :
Mn=1400+65n
.
4
Calculer M15
Correction
Comme Mn=1400+65n alors M15=1400+65×15 Ainsi :
M15=2375
.
5
A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 2500 euros? Une résolution algébrique est bien entendue demandée.
Correction
Nous voulons savoir quand Mn≥2500. L'inéquation s'écrit également : 1400+65n≥2500. 1400+65n≥2500 équivaut succesivement à : 65n≥2500−1400 65n≥1100 n≥651100 . or 651100≈16,92, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que : n≥17 Après 17 années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins 2500 euros.
Option B : une augmentation de 3,5% du salaire mensuel de l'année précédente au 1er janvier de chaque année. Adam est embauché dans l'entreprise avec un salaire de 1400 euros. Il choisit d'être augmenté suivant l'option B. On note Jn son salaire après n années dans l'entreprise. On a : J0=1400.
6
Calculer J1 et J2. Arrondir à l'euros près si besoin.
Correction
On a : J1=1400+1400×1003,5 d'où
J1=1449
J2=1435+1435×1003,5 d'où
J2=1500
7
Exprimer Jn+1 en fonction de Jn. En déduire la nature de la suite (Jn).
Correction
Chaque année l'augmentation est de 3,5% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+1003,5=1,035 Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
Jn+1=Jn×1,035
. La suite (Jn) est alors une suite géométrique de raison q=1,035 et de premier terme J0=1400.
8
Exprimer Jn en fonction de n.
Correction
D'après le cours , on sait que : Jn=J0×qn ce qui nous donne donc :
Jn=1400×1,035n
9
Calculer J15 . Arrondir à l'euros près.
Correction
Comme Jn=1400×1,035n alors J15=1400×1,03515 Ainsi :
J15=2345
.
10
A partir de combien d'années son salaire sera t-il au moins 2500 euros? L'aide de la calculatrice ici est la bienvenue.
Correction
Nous voulons savoir quand Jn≥2500. l'inéquation s'écrit également : 1400×1,035n≥2500 Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression 1400×1,035n et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à 2500. Nous avons les données suivantes :
lorsque n=16 nous obtenons 2427
lorsque n=17 nous obtenons 2512
Après 17 années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins 2500 euros.
11
A partir de combien d'années dans l'entreprise, le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Correction
Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions 1400×1,035n et 1400+65n et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina. Nous avons les données suivantes :
lorsque n=16 Lina aura un salaire de 2440 euros et Adam un salaire de 2427
lorsque n=17 Lina aura un salaire de 2505 euros et Adam un salaire de 2512
Après 17 années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.
Exercice 2
On suppose qu’à partir de l’année 2018, chaque année, le prix du lingot d'or augmentera de 1%. On note un le prix , en euros, du lingot d'or pour l’année 2018+n . On donne u0=37400 .
1
Quel serait le prix d'un lingot d'or en 2019.
Correction
u0=37400 correspond au prix du lingot d'or en 2018. Donc u1 sera le prix du lingot d'or en 2019. Chaque année l'augmentation est de 1% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur 1+1001=1,01 Ainsi : u1=u0×1,01 u1=37400×1,01
u1=37774
Le prix du lingot d'or en 2019 serait de 37774 euros.
2
Justifier que (Un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Correction
Chaque année, le prix du lingot d'or augmente de 1% . On multiplie donc chaque année le prix par le coefficient multiplicateur q=1+1001=1,01 . Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,01. Il en résulte donc que la suite (vn) est geˊomeˊtrique de raison q=1,01 et de premier terme u0=37400
3
Exprimer un en fonction de n .
Correction
Soit (un) une suite géométrique. L'expression de un en fonction de n est :
un=u0×qn : lorsque le premier terme vaut u0 .
un=u1×qn−1 : lorsque le premier terme vaut u1 .
Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=37400. Il en résulte donc que :
un=37400×1,01n
On donne l’algorithme suivant :
U←37400 N←0 Tant que U<40100 U←U×1,01 N←N+1 Fin tant que
4
On admet que la valeur prise par la variable N en fin d’exécution de l’algorithme est 8. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Correction
Ce résultat, dans le contexte de l’exercice, est la valeur de n pour laquelle le prix du lingot d'or dépassera les 38500 euros. Autrement dit, en 2018+8=2026 le prix du lingot d'or dépassera les 40100 euros.
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