Exercices types : 2^ème partie

On a :
$M_{1}=1400+65$ ainsi
$M_{2}=1465+65$ ainsi

Soit $n$ un entier naturel.
On a : . La suite $\left(J_{n} \right)$ est alors une suite arithmétique de raison $r=65$ et de premier terme $M_{0}=1400$.

D'après le cours , on sait que :
$M_{n} =M_{0} +n\times r$ ce qui nous donne donc : .

Comme $M_{n} =1400+65n$ alors $M_{15} =1400+65\times 15$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $M_{n}\ge 2500$. L'inéquation s'écrit également : $1400+65n\ge 2500$.
$1400+65n\ge 2500$ équivaut succesivement à :
$65n\ge 2500-1400$
$65n\ge 1100$
$n\ge \frac{1100}{65}$ . or $\frac{1100}{65}\approx16,92$, on prend donc l'entier naturel supérieur à cette écriture décimale. Il vient alors que :
$n\ge 17$
Après $17$ années dans l'entreprise Lina aura un salaire d'au moins $2500$ euros.

On a :
$J_{1}=1400+1400\times \frac{3,5}{100}$ d'où
$J_{2}=1435+1435\times \frac{3,5}{100}$ d'où

Chaque année l'augmentation est de $3,5$% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur $1+\frac{3,5}{100}=1,035$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
. La suite $\left(J_{n} \right)$ est alors une suite géométrique de raison $q=1,035$ et de premier terme $J_{0}=1400$.

D'après le cours , on sait que :
$J_{n} =J_{0} \times q^{n}$ ce qui nous donne donc :

Comme $J_{n} =1400\times 1,035^{n}$ alors $J_{15} =1400\times 1,035^{15}$
Ainsi : .

Nous voulons savoir quand $J_{n}\ge 2500$. l'inéquation s'écrit également : $1400\times 1,035^{n}\ge 2500$
Ici nous n'allons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons utiliser la calculatrice. Pour cela, il vous faut entrer l'expression $1400\times 1,035^{n}$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang nous avons une valeur supérieur à $2500$.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $n=16$ nous obtenons $2427$
• lorsque $n=17$ nous obtenons $2512$

Après $17$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire d'au moins $2500$ euros.

Nous allons reprendre le même raisonnement que la question précédente. Nous allons entrer les expressions $1400\times 1,035^{n}$ et $1400+65n$ et avec le tableau de valeurs regarder à partir de quelle rang le salaire d'Adam sera supérieur à celui de Lina.
Nous avons les données suivantes :

• lorsque $n=16$ Lina aura un salaire de $2440$ euros et Adam un salaire de $2427$
• lorsque $n=17$ Lina aura un salaire de $2505$ euros et Adam un salaire de $2512$

Après $17$ années dans l'entreprise Adam aura un salaire supérieur à celui de Lina.

$u_{0}=37$ $400$ correspond au prix du lingot d'or en $2018$.
Donc $u_{1}$ sera le prix du lingot d'or en $2019$.
Chaque année l'augmentation est de $1$% , il nous faut donc multiplier par le coefficient multiplicateur $1+\frac{1}{100}=1,01$
Ainsi :
$u_{1} =u_{0} \times 1,01$
$u_{1} =37400\times 1,01$

Le prix du lingot d'or en $2019$ serait de $37$ $774$ euros.

Chaque année, le prix du lingot d'or augmente de $1\%$ . On multiplie donc chaque année le prix par le coefficient multiplicateur $q=1+\frac{1}{100}=1,01$ .
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par $1,01$.
Il en résulte donc que la suite $\left(v_{n}\right)$ est ${\color{blue}\text{géométrique}}$ de raison $q=1,01$ et de premier terme $u_{0}=37$ $400$

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $u_{0}=37$ $400$.
Il en résulte donc que :

Ce résultat, dans le contexte de l’exercice, est la valeur de $n$ pour laquelle le prix du lingot d'or dépassera les $38$ $500$ euros.
Autrement dit, en $2018+8=2026$ le prix du lingot d'or dépassera les $40$ $100$ euros.