Suites numériques

Exercices types : 1ère partie

Exercice 1

A la naissance de leur fille Lina en 20072007, des parents décident de placer 40004000 euros afin de financer ses futures études. Ils auront accès à leur dépôt en 20252025, lors des 1818 ans de Lina.
Ils prennent rendez vous avec deux banques.
  • La banque Uranus leur propose un placement qui rapportera 300300 euros par an.
  • La banque Vénus leur propose un placement à 5%5\% par an.
  • On note unu_{n} la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) suite au placement dans la banque Uranus.
    On note vnv_{n} la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) suite au placement dans la banque Vénus.
    Etude de la proposition de la banque Uranus.
    1

    Donner la valeur de u0u_{0}.

    Correction
    2

    Calculer u1u_{1} .

    Correction
    3

    Donner la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    Correction
    4

    Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

    Correction
    5

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn .

    Correction
    6

    Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Uranus.

    Correction
    Etude de la proposition de la banque Vénus.
    7

    Donner la valeur de v0v_{0}.

    Correction
    8

    Calculer v1v_{1} .

    Correction
    9

    Donner la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right).

    Correction
    10

    Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n} .

    Correction
    11

    Exprimer vnv_{n} en fonction de nn .

    Correction
    12

    Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Vénus.

    Correction
    13

    Quel est le placement que les parents de Lina vont choisir?

    Correction

    Exercice 2

    Deux coureurs cyclistes, Ugo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois.
    Leur objectif est de parcourir chacun une distance totale de 15001500 km pendant leur période d’entraînement de 2020 semaines.
  • Ugo commence son entraînement en parcourant 4040 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de 55 km par semaine.
  • Vivien commence son entraînement en parcourant 3030 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de 10%10\% par semaine.
  • On note unu_{n} la distance, en kilomètres, parcourue par Ugo la nnième semaine.
    On note vnv_{n} la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la nnième semaine.
    On a ainsi u1=40u_{1} = 40 et v1=30v_{1} = 30.
    Dans cet exercice, on étudie les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right).
    Partie A : l’entraînement d'Ugo.
    1

    Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.

    Correction
    2

    Quelle est la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right)? Préciser sa raison.

    Correction
    uu est un réel
    ii et nn sont des entiers naturels
    Saisir nn
    uu prend la valeur ....(1).... \left(1\right)
    Pour ii allant de 11 à nn
         uu prend la valeur ....(2)....\left(2\right)
    Fin Pour
    Afficher uu
    3

    Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes (1)\left(1\right) et (2)\left(2\right) de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la nnième semaine d’entraînement.

    Correction
    4

    Montrer que, pour tour n1n\ge1, on a : un=35+5nu_{n}=35+5n

    Correction
    5

    Calculer u14u_{14} et u15u_{15} .

    Correction
    Partie B: l’entraînement de Vivien.
    6

    Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right)? Préciser sa raison.

    Correction
    7

    Montrer que, pour tour n1n\ge1, on a : vn=30×1,1n1v_{n}=30\times1,1^{n-1}

    Correction
    8

    Calculer v14v_{14} et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

    Correction
    Partie C : comparaison des deux entraînements.
    9

    Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties AA et BB pour justifier la réponse.

    Correction
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