Suites numériques

Etudier le sens de la variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 4

8 min
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Soit nn un entier naturel.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Question 1

{u0=2un+1=un5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} -5} \end{array}\right.

Correction
 Ici il s’agit d’eˊtudier la monotonie d’une suite reˊcurrente.\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}
Comme un+1=un5u_{n+1} =u_{n} -5, on va passer le unu_{n} qui est à droite du signe == à gauche du signe == afin de faire apparaitre l'expression un+1unu_{n+1} -u_{n} .
Ainsi :
un+1=un5u_{n+1} =u_{n} -5 peut s'écrire :
un+1un=5u_{n+1} -u_{n} =-5
Or un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}
Question 2

{u0=4un+1=un+7\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {4} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} +7} \end{array}\right.

Correction
 Ici il s’agit d’eˊtudier la monotonie d’une suite reˊcurrente.\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}
Comme un+1=un+7u_{n+1} =u_{n} +7, on va passer le unu_{n} qui est à droite du signe == à gauche du signe == afin de faire apparaitre l'expression un+1unu_{n+1} -u_{n} .
Ainsi :
un+1=un+7u_{n+1} =u_{n} +7 peut s'écrire :
un+1un=7u_{n+1} -u_{n} =7
Or un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 3

{u0=5un+1=un+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {-5} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}+2} \end{array}\right.

Correction
 Ici il s’agit d’eˊtudier la monotonie d’une suite reˊcurrente.\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}
Comme un+1=un+2u_{n+1} =u_{n} +2, on va passer le unu_{n} qui est à droite du signe == à gauche du signe == afin de faire apparaitre l'expression un+1unu_{n+1} -u_{n} .
Ainsi :
un+1=un+2u_{n+1} =u_{n} +2 peut s'écrire :
un+1un=2u_{n+1} -u_{n} =2
Or un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 4

{u0=1un+1=unn2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}-n^{2}} \end{array}\right.

Correction
 Ici il s’agit d’eˊtudier la monotonie d’une suite reˊcurrente.\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}
Comme un+1=unn2u_{n+1} =u_{n} -n^{2}, on va passer le unu_{n} qui est à droite du signe == à gauche du signe == afin de faire apparaitre l'expression un+1unu_{n+1} -u_{n} .
Ainsi :
un+1=unn2u_{n+1} =u_{n} -n^{2} peut s'écrire :
un+1un=n2u_{n+1} -u_{n} =-n^{2}
On rappelle que nn est un entier naturel. De plus, un carré est positif ou nul ainsi : n20n^{2}\ge0 et de ce fait n20-n^{2}\le0
On peut alors coonclure que un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 . Finalement la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}