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Etudier le sens de la variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1−unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 2

8 min
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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=n2−6u_{n}=n^{2}-6 .

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn .

Correction
Comme un=n2−6u_{n}=n^{2}-6 alors :
un+1=(n+1)2−6u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2}-6.
    Identité remarquable
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
un+1=n2+2n+1−6u_{n+1} =n^{2}+2n+1-6
Ainsi :
un+1=n2+2n−5u_{n+1} =n^{2}+2n-5
Question 2

Exprimer un+1−unu_{n+1}-u_{n} en fonction de nn .

Correction
un+1−un=n2+2n−5−(n2−6)u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+2n-5-\left(n^{2}-6\right)
un+1−un=n2+2n−5−n2+6u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+2n-5-n^{2}+6
Ainsi :
un+1−un=2n+1u_{n+1}-u_{n}=2n+1
Question 3

Etudiez le signe un+1−un+1u_{n+1}-u_{n+1} .

Correction
Ici, un+1−unu_{n+1} -u_{n} dépend de nn, il faut donc étudier le signe de 2n+12n+1.
Comme nn un entier naturel alors n≥0n\ge0 donc 2n≥02n\ge0 ainsi 2n+1≥12n+1\ge1.
Il en résulte que 2n+1≥02n+1\ge 0
Or un+1−un=2n+1u_{n+1} -u_{n} =2n+1 donc un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 .
Question 4

En déduire le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
D'après la question 33, nous savons que : un+1−un≥0u_{n+1}-u_{n}\ge 0
Finalement : un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}

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