Suites numériques

Etudier le sens de la variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 1

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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=7n8u_{n}=-7n-8 .

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn .

Correction
Comme un=7n8u_{n}=-7n-8 alors :
un+1=7×(n+1)8u_{n+1} =-7\times\left(n+1\right)-8.
un+1=(7)×n+(7)×18u_{n+1} =\left(-7\right)\times n+\left(-7\right)\times1-8.
un+1=7n78u_{n+1} =-7n-7-8
Ainsi :
un+1=7n15u_{n+1} =-7n-15

Question 2

Exprimer un+1unu_{n+1}-u_{n} en fonction de nn .

Correction
un+1un=7n15(7n8)u_{n+1}-u_{n}=-7n-15-\left(-7n-8\right)
un+1un=7n15+7n+8u_{n+1}-u_{n}=-7n-15+7n+8
Ainsi :
un+1un=7u_{n+1}-u_{n}=-7

Question 3

Etudiez le signe un+1un+1u_{n+1}-u_{n+1} .

Correction
un+1un=7u_{n+1} -u_{n} =-7 donc un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 car 7-7 est un nombre négatif.
Question 4

En déduire le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
D'après la question 33, nous savons que : un+1un0u_{n+1}-u_{n}\le 0
Finalement : un+1un0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}