Probabilités conditionnelles

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

20 min
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Une troupe de théâtre est composé de 160160 personnes. Chaque membre de la troupe remplit une fiche d'inscription. On prélève au hasard une fiche. On note :
  • AA l'événement : « être un adulte »
  • HH l'événement : « être un homme »
La répartition de la troupe est donnée ci-dessous :
Question 1

Compléter le tableau.

Correction
Question 2
Toutes les probabilités seront données sous forme d'une fraction irréductible.

Calculer la probabilité de l'évènement AA et la probabilité de l'évènement HH.

Correction
p(A)=nombre des issues favorables pour Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }A}{\text{nombre des issues possibles}}
p(A)=60160p\left(A\right)=\frac{60}{160}
p(A)=38p\left(A\right)=\frac{3}{8}


p(H)=nombre des issues favorables pour Hnombre des issues possiblesp\left(H\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables pour }H}{\text{nombre des issues possibles}}
p(H)=90160p\left(H\right)=\frac{90}{160}
p(H)=916p\left(H\right)=\frac{9}{16}
Question 3

Définir par une phrase l'évènement AHA\cap H. Calculer la probabilité de cet évènement.

Correction
AHA\cap H l'événement : « être un adulte et être un homme.
p(AH)=nombre des issues favorables AHnombre des issues possiblesp\left(A\cap H\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A\cap H}{\text{nombre des issues possibles}}
p(AH)=35160p\left(A\cap H\right)=\frac{35}{160}
p(AH)=732p\left(A\cap H\right)=\frac{7}{32}
Question 4

D'écrire l'évènement AHA\cup H par une phrase, puis donner p(AH)p\left(A\cup H\right).

Correction
AHA\cup H l'événement : « être un adulte ou être un homme.
  • P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
P(AH)=P(A)+P(H)P(AH)P\left(A\cup H\right)=P\left(A\right)+P\left(H\right)-P\left(A\cap H\right) équivaut successivement à :
P(AH)=60160+9016035160P\left(A\cup H\right)=\frac{60}{160}+\frac{90}{160}-\frac{35}{160}
P(AH)=2332P\left(A\cup H\right)=\frac{23}{32}
Question 5

Sachant que la personne est une femme, quelle est la probabilité que cela soit une adulte ?

Correction
Nous savons que
  • HH l'événement : « être un homme »
  • Nous noterons alors :
  • H\overline{H} l'événement : « être une femme »
  • Sachant que la personne est une femme, quelle est la probabilité que cela soit une adulte correspond à une probabilité conditionnelle que l'on va écrire : PH(A)P_{\overline{H}} \left(A\right)
    • PB(A)=P(AB)P(B)P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}
    Il vient alors que :
    PH(A)=P(AH)P(H)P_{\overline{H}} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap \overline{H}\right)}{P\left(\overline{H}\right)}
    PH(A)=2570P_{\overline{H}} \left(A\right)=\frac{25}{70}
    Ainsi :
    PH(A)=514P_{\overline{H}} \left(A\right)=\frac{5}{14}