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Sujet 1 - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur l'intervalle [−1;10]\left[-1;10\right] . On représente ci-dessous le tableau de variation de ff :

Déterminer le maximum de la fonction ff sur l'intervalle [2;10]\left[2;10\right] .

Correction
  • Un extremum est une valeur, qui peut correspondre à un minimum ou à un maximum, prise par une valeur sur un intervalle donné.
  • La fonction ff admet un maximum qui vaut 88 lorsque x=6x=6 sur l'intervalle [2;10]\left[2;10\right] .
    • Question 2

    Déterminer le minimum de la fonction ff sur l'intervalle [−1;10]\left[-1;10\right] .

    Correction
  • Un extremum est une valeur, qui peut correspondre à un minimum ou à un maximum, prise par une valeur sur un intervalle donné.
  • La fonction ff admet un minimum qui vaut −9-9 lorsque x=10x=10 sur l'intervalle [−1;10]\left[-1;10\right] .
    • Question 3

    Si x∈[2;10]x\in \left[2;10\right] alors f(x)∈[…;…]f\left(x\right)\in \left[\ldots ;\ldots \right]

    Correction
  • La fonction ff admet un minimum qui vaut −9-9 lorsque x=10x=10 sur l'intervalle [2;10]\left[2;10\right] .
  • La fonction ff admet un maximum qui vaut 88 lorsque x=6x=6 sur l'intervalle [2;10]\left[2;10\right] .
    • Il en résulte donc que :
    Si x∈[2;10]x\in \left[2;10\right] alors f(x)∈[−9;8]f\left(x\right)\in \left[-9 ;8 \right]
    Question 4

    Si x∈[−1;4]x\in \left[-1;4\right] alors f(x)∈[…;…]f\left(x\right)\in \left[\ldots ;\ldots \right]

    Correction
  • La fonction ff admet un minimum qui vaut −1-1 lorsque x=2x=2 sur l'intervalle [−1;4]\left[-1;4\right] .
  • La fonction ff admet un maximum qui vaut 66 lorsque x=−1x=-1 sur l'intervalle [−1;4]\left[-1;4\right] .
    • Il en résulte donc que :
    Si x∈[−1;4]x\in \left[-1;4\right] alors f(x)∈[−1;6]f\left(x\right)\in \left[-1 ;6 \right]
    Question 5

    Calculer le taux de variation de ff entre −1-1 et 22 .

    Correction
    • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. aa et bb sont deux nombres réels distincts appartenant à intervalle II. Le taux de variation de ff entre aa et bb est le nombre réel t(a;b)=f(b)−f(b)b−at\left(a;b\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(b\right)}{b-a}
    D'après le tableau de variation nous pouvons lire que f(−1)=6f\left(-1\right)=6 et f(2)=−1f\left(2\right)=-1 .
    Le taux de variation de ff entre −1-1 et 22 est alors égale à :
    t(−1;2)=f(−1)−f(2)−1−2t\left(-1;2\right)=\frac{f\left(-1\right)-f\left(2\right)}{-1-2}
    t(−1;2)=6−(−1)1−2t\left(-1;2\right)=\frac{6-\left(-1\right)}{1-2}
    t(−1;2)=6+1−1t\left(-1;2\right)=\frac{6+1}{-1}
    t(−1;2)=7−1t\left(-1;2\right)=\frac{7}{-1}
    t(−1;2)=−7t\left(-1;2\right)=-7

    Le taux de variation de ff entre −1-1 et 22 est égale à −7-7 .
    Question 6

    Comparer f(8)f\left(8\right) et f(9)f\left(9\right)

    Correction
      Dire que la fonction ff est décroissante sur un intervalle II signifie que pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} de II.
    • Si x1≤x2x_{1}\le x_{2} alors f(x1)≥f(x2)f\left(x_{1}\right)\ge f\left(x_{2}\right).
    • On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle II et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.
    Sur l'intervalle [6;10]\left[6;10\right], la fonction ff est strictement décroissante et 8<98<9 alors
    f(8)>f(9)f\left(8\right)> f\left(9\right)
    . On dit que la fonction ff change l’ordre : les réels de l’intervalle [6;10]\left[6;10\right] et leurs images par ff sont rangés dans un ordre contraire.