Tout ce qu'il faut savoir sur les fonctions polynômes de degré 3

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Résoudre dans $$\mathbb{R}$$ les équations suivantes.
1) $$x^{3}=125$$
2) $$x^{3}=-8$$
3) $$x^{3}=20$$ (on donnera une valeur approchée de la solution à $$10^{-2}$$ près)
4) $$2x^{3}+5=59$$
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) D'après le rappel, il vient que :
$$x^{3}=125$$ équivaut successivement à :
$$x=\sqrt[3]{125}$$
$$x=5$$
car $$5^{3}=5\times 5\times 5=125$$. Ainsi la solution de l'équation $$x^{3}=125$$ est :
2) $$x^{3}=-8$$ équivaut successivement à :
$$x=\sqrt[3]{-8}$$
$$x=-2$$
car $$\left(-2\right)^{3}=-8$$. Ainsi la solution de l'équation $$x^{3}=-8$$ est :
3) $$x^{3}=20$$ équivaut à $$x=\sqrt[3]{20}$$ que l'on peut aussi écrire $$x=20^{\frac{1}{3}}$$
Ainsi la solution de l'équation $$x^{3}=20$$ est :

À la calculatrice, on obtient $$20^{\frac{1}{3}}\approx 2{,}71$$ à $$10^{-2}$$ près.
4) $$2x^{3}+5=59$$ équivaut successivement à :
$$2x^{3}=59-5$$
$$2x^{3}=54$$
$$x^{3}=\dfrac{54}{2}$$
$$x^{3}=27$$
$$x=\sqrt[3]{27}$$
$$x=3$$
Ainsi la solution de l'équation $$2x^{3}+5=59$$ est :

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
1) Donner le sens de variation de la fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=-4x^{3}+7$$.
2) Soit $$g$$ la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$g\left(x\right)=ax^{3}+b$$. Déterminer les valeurs des réels $$a$$ et $$b$$ tels que $$g\left(0\right)=-3$$ et $$g\left(2\right)=13$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
1) Nous avons $$f\left(x\right)=-4x^{3}+7$$ ainsi $$a=-4\lt 0$$. Il en résulte donc que la fonction $$f$$ est décroissante sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$.
2) L'information $$g\left(0\right)=-3$$ va nous permettre d'obtenir la valeur de $$b$$. En effet, nous allons remplacer $$x$$ par $$0$$ dans l'expression $$g\left(x\right)=ax^{3}+b$$. Cela nous donne :
$$g\left(0\right)=-3$$ qui va s'écrire $$a\times 0^{3}+b=-3$$ ainsi $$0+b=-3$$ d'où $$b=-3$$.
Ce qui nous permet d'écrire que : $$g\left(x\right)=ax^{3}-3$$
Nous allons maintenant utiliser l'information $$g\left(2\right)=13$$.
Comme $$g\left(2\right)=13$$ alors $$a\times 2^{3}-3=13$$ ainsi $$8a-3=13$$ d'où $$8a=16$$ finalement $$a=2$$.
Il en résulte donc que :

Comme $$a=2\gt 0$$, la fonction $$g$$ est croissante sur $$\mathbb{R}$$.

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
La courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ ci-dessous représente une fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)$$. Elle coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $$-2$$, $$1$$ et $$3$$, et elle passe par le point de coordonnées $$\left(0;12\right)$$.

Déterminer l'expression de $$f\left(x\right)$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$
Les racines de $$f$$ sont $$-2$$, $$1$$ et $$3$$. On peut donc écrire $$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$$ que l'on peut aussi écrire $$f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$$.
Comme la courbe passe par le point de coordonnées $$\left(0;12\right)$$, on a $$f\left(0\right)=12$$. Nous allons maintenant utiliser cette information.
Comme $$f\left(0\right)=12$$ alors $$a\times \left(0+2\right)\times \left(0-1\right)\times \left(0-3\right)=12$$ ainsi $$a\times 2\times \left(-1\right)\times \left(-3\right)=12$$ d'où $$6a=12$$ finalement $$a=2$$.
Il en résulte donc que :

$$\pink{\text{Exemple :}}$$
Soit $$f$$ la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par $$f\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)$$. Étudier le signe de $$f\left(x\right)$$, puis résoudre l'inéquation $$f\left(x\right)\ge 0$$.
$$\green{\text{Corrigé :}}$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$x+2=0$$ équivaut à $$x=-2$$
Soit $$x\mapsto x+2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur vaut $$1$$, qui est positif. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne de $$x+2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$x-1=0$$ équivaut à $$x=1$$
De la même façon, on commencera dans la ligne de $$x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$.
$$\red{\text{De plus :}}$$ $$x-3=0$$ équivaut à $$x=3$$
On commencera dans la ligne de $$x-3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$.
$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$2$$ est strictement positif. On ne mettra que le signe $$\left(+\right)$$ dans la ligne de $$2$$.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :

L'ensemble des solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)\ge 0$$ est donc :

On retrouve ce résultat sur la courbe de la partie précédente : elle est au-dessus de l'axe des abscisses sur $$\left[-2;1\right]$$ et sur $$\left[3;+\infty\right[$$.