Fonctions polynômes de degré 3

Déterminer les réels aa et bb dans les fonctions de la forme ax3+bax^{3}+b - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b .

Déterminer les valeurs des réels aa et bb tels que f(0)=5f\left(0\right)=5 et f(1)=3f\left(1\right)=3

Correction
L'information f(0)=5f\left(0\right)=5 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b . Cela nous donne :
f(0)=5f\left(0\right)=5 qui va s'écrire a×03+b=5a\times 0^{3} +b=5 ainsi 0+b=50 +b=5 d'où b=5b=5 .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax3+5f\left(x\right)=ax^{3} +5
Nous allons maintenant utiliser l'information f(1)=3f\left(1\right)=3.
Comme f(1)=3f\left(1\right)=3 alors a×13+5=3a \times 1^{3} +5=3 ainsi a+5=3a +5=3 d'où a=35a=3-5 finalement a=2a=-2 .
Il en résulte donc que :
f(x)=2x3+5f\left(x\right)=-2x^{3} +5
Question 2

Déterminer les valeurs des réels aa et bb tels que f(0)=2f\left(0\right)=2 et f(2)=4f\left(2\right)=4

Correction
L'information f(0)=2f\left(0\right)=2 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b . Cela nous donne :
f(0)=2f\left(0\right)=2 qui va s'écrire a×03+b=2a\times 0^{3} +b=2 ainsi 0+b=20 +b=2 d'où b=2b=2 .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax3+2f\left(x\right)=ax^{3} +2
Nous allons maintenant utiliser l'information f(2)=4f\left(2\right)=4.
Comme f(2)=4f\left(2\right)=4 alors a×23+2=4a \times 2^{3} +2=4 ainsi 8a+2=48a +2=4 d'où 8a=428a=4-2
8a=28a=2 finalement a=28=14a=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} .
Il en résulte donc que :
f(x)=14x3+2f\left(x\right)=\frac{1}{4}x^{3} +2
Question 3

Déterminer les valeurs des réels aa et bb tels que f(0)=4f\left(0\right)=-4 et f(1)=5f\left(-1\right)=-5

Correction
L'information f(0)=4f\left(0\right)=-4 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b . Cela nous donne :
f(0)=4f\left(0\right)=-4 qui va s'écrire a×03+b=4a\times 0^{3} +b=-4 ainsi 0+b=40 +b=-4 d'où b=4b=-4 .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax34f\left(x\right)=ax^{3} -4
Nous allons maintenant utiliser l'information f(1)=5f\left(-1\right)=-5.
Comme f(1)=5f\left(-1\right)=-5 alors a×(1)34=5a \times (-1)^{3} -4=-5 ainsi a4=5-a -4=-5 d'où a=5+4-a=-5+4
a=1-a=-1 finalement a=1a=1 .
Il en résulte donc que :
f(x)=x34f\left(x\right)=x^{3} -4
Question 4

Déterminer les valeurs des réels aa et bb tels que f(0)=9f\left(0\right)=-9 et f(3)=18f\left(3\right)=18

Correction
L'information f(0)=9f\left(0\right)=-9 va nous permettre d'obtenir la valeur de bb. En effet, nous allons remplacer dans l'expression f(x)=ax3+bf\left(x\right)=ax^{3} +b . Cela nous donne :
f(0)=9f\left(0\right)=-9 qui va s'écrire a×03+b=9a\times 0^{3} +b=-9 ainsi 0+b=90 +b=-9 d'où b=9b=-9 .
Ce qui nous permet d'écrire que : f(x)=ax39f\left(x\right)=ax^{3} -9
Nous allons maintenant utiliser l'information f(3)=18f\left(3\right)=18.
Comme f(3)=18f\left(3\right)=18 alors a×(3)39=18a \times (3)^{3} -9=18 ainsi 27a9=1827a -9=18 d'où  \; 27a=18+927a=18+9
27a=2727a=27 finalement a=1a=1 .
Il en résulte donc que :
f(x)=x39f\left(x\right)=x^{3} -9