Fonctions polynômes de degré 3

Comment étudier le signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)(x−x3)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) - Exercice 5

10 min
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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=−18(x+20)(x+22)(x+24)f\left(x\right)=-18\left(x+20\right)\left(x+22\right)\left(x+24\right) sur R\mathbb{R}

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+20=0⇔x=−20x+20=0\Leftrightarrow x=-20
    Soit x↦x+20x\mapsto x+20 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+20x+20 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−20x=-20 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+22=0⇔x=−22x+22=0\Leftrightarrow x=-22
    Soit x↦x+22x\mapsto x+22 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+22x+22 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−22x=-22 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+24=0⇔x=−24x+24=0\Leftrightarrow x=-24
    Soit x↦x+24x\mapsto x+24 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+24x+24 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−24x=-24 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −18-18 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −18-18.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−(x+9)(x+6)(x−2)f\left(x\right)=-\left(x+9\right)\left(x+6\right)\left(x-2\right) sur R\mathbb{R}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
    • x+9=0⇔x=−9x+9=0\Leftrightarrow x=-9
    Soit x↦x+9x\mapsto x+9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+9x+9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−9x=-9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x+6=0⇔x=−6x+6=0\Leftrightarrow x=-6
    Soit x↦x+6x\mapsto x+6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+6x+6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−6x=-6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x−2=0⇔x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit x↦x−2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−2x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −1-1 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −1-1.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :