Fonctions polynômes de degré 3

Comment déterminer l'expression d'une fonction polynôme du troisième degré à partir d'éléments graphiques ou de données - Exercice 2

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Question 1

Soit ff une fonction polynôme de degré 33 dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. Déterminer l'expression sous forme factorisée de ff .

Correction
Soit aa un réel non nul . Soient x1x_{1} , x2x_{2} et x3x_{3} trois réels.
Soit la fonction ff polynôme de degré trois définie sur R\mathbb{R} par f(x)=a(xx1)(xx2)(xx3)f\left(x\right)=a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right).
L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet trois solutions que l'on appelle également racines\red{\text{racines}}. Les racines sont alors x1x_{1} , x2x_{2} et x3x_{3} .
D'après la représentation graphique, nous pouvons voir que la courbe Cf\mathscr{C_f} passe trois fois par l'axe des abscisses.
Autrement dit, on a : f(1)=0f\left(-1\right)=0 ; f(1)=0f\left(1\right)=0 et f(4)=0f\left(4\right)=0.
Les réels 1-1, 11 et 44 sont alors les racines de ff.
On note alors par exemple que : x1=1x_1=-1 ; x2=1x_2=1 et x3=4x_3=4 .
D'après le rappel, nous pouvons alors écrire que :
f(x)=a(x(1))(x1)(x4)f\left(x\right)=a\left(x-\left(-1\right) \right)\left(x-1 \right)\left(x-4 \right)
ou encore :
f(x)=a(x+1)(x1)(x4)f\left(x\right)=a\left(x+1 \right)\left(x-1 \right)\left(x-4 \right)
De plus, nous pouvons lire, sur le graphique, que f(3)=12f\left(3\right)=12 . Cette information va nous permettre de déterminer la valeur du réel aa.
Il s'ensuit que :
f(3)=12f\left(3\right)=12
a(3(1))(31)(34)=12a\left(3-\left(-1\right) \right)\left(3-1 \right)\left(3-4 \right)=12
a(3+1)(31)(34)=12a\left(\red{3+1 }\right)\left(\blue{3-1} \right)\left(\pink{3-4 }\right)=12
a×4×2×(1)=12a\times\red{4}\times\blue{2}\times\pink{\left(-1\right)}=12
a×(8)=12a\times\left(-8\right)=12
a=128a=\frac{12}{-8}
Soit :
a=32a=-\frac{3}{2}

La fonction polynôme de degré 33 dont la représentation est donnée ci-dessus s'écrit alors :
f(x)=32(x+1)(x1)(x4)f\left(x\right)=-\frac{3}{2}\left(x+1 \right)\left(x-1 \right)\left(x-4 \right)