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Vérifier qu'un réel donné est bien racine d'un polynôme de degré 22 - Exercice 1

5 min
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Question 1

Vérifier que 11 est une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−4x+2f\left(x\right)=2x^{2} -4x+2 .

Correction
Soit x1x_{1} un réel.
Soit f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c un polynôme de degré 22.
x1x_{1} est une racine\red{\text{racine}} de ff si et seulement si f(x1)=0f\left(x_{1}\right)=0 .
f(x)=2x2−4x+2f\left(x\right)=2x^{2} -4x+2
Il nous faut donc calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=2×12−4×1+2f\left(1\right)=2\times 1^{2} -4\times 1+2
f(1)=2−4+2f\left(1\right)=2-4+2
Ainsi :
f(1)=0f\left(1\right)=0

Comme f(1)=0f\left(1\right)=0 alors on peut affirmer que 11 est bien une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2−4x+2f\left(x\right)=2x^{2} -4x+2 .
Question 2

Vérifier que −2-2 est une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2−3x−10g\left(x\right)=x^{2} -3x-10 .

Correction
Soit x1x_{1} un réel.
Soit f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c un polynôme de degré 22.
x1x_{1} est une racine\red{\text{racine}} de ff si et seulement si f(x1)=0f\left(x_{1}\right)=0 .
g(x)=x2−3x−10g\left(x\right)=x^{2} -3x-10
Il nous faut donc calculer g(−2)g\left(-2\right)
g(−2)=(−2)2−3×(−2)−10g\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2} -3\times \left(-2\right)-10
g(−2)=4+6−10g\left(-2\right)=4+6-10
Ainsi :
g(−2)=0g\left(-2\right)=0

Comme g(−2)g\left(-2\right) alors on peut affirmer que −2-2 est bien une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par g(x)=x2−3x−10g\left(x\right)=x^{2} -3x-10 .
Question 3

Vérifier que 12\frac{1}{2} est une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par h(x)=2x2+7x−4h\left(x\right)=2x^{2} +7x-4 .

Correction
Soit x1x_{1} un réel.
Soit f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c un polynôme de degré 22.
x1x_{1} est une racine\red{\text{racine}} de ff si et seulement si f(x1)=0f\left(x_{1}\right)=0 .
h(x)=2x2+7x−4h\left(x\right)=2x^{2} +7x-4
Il nous faut donc calculer h(12)h\left(\frac{1}{2}\right)
h(12)=2×(12)2+7×(12)−4h\left(\frac{1}{2}\right)=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2} +7\times\left(\frac{1}{2}\right)-4
h(12)=2×14+7×(12)−4h\left(\frac{1}{2}\right)=2\times\frac{1}{4} +7\times\left(\frac{1}{2}\right)-4
h(12)=24+72−4h\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{2}{4} +\frac{7}{2} -4
h(12)=12+72−4h\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} +\frac{7}{2} -4
h(12)=82−4h\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{8}{2} -4
h(12)=4−4h\left(\frac{1}{2} \right)=4-4
Ainsi :
h(12)=0h\left(\frac{1}{2} \right)=0

Comme h(12)=0h\left(\frac{1}{2} \right)=0 alors on peut affirmer que 12\frac{1}{2} est bien une racine de la fonction polynôme de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par h(x)=2x2+7x−4h\left(x\right)=2x^{2} +7x-4.

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