Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

On administre l’antibiotique à l’instant $$t = 0$$.
Il nous faut calculer $$f\left(0\right)$$ .
Il vient alors que :
$$f\left(0\right)=-0,9\times 0^{2} +1,53\times 0+3,51$$
Ainsi :
On rappelle que la population d’une bactérie est exprimée en dizaine de milliers.
Il en résulte que le nombre de bactéries à l’instant où l’on administre l’antibiotique est alors de $$35$$ $$100$$ .

$$f\left(3\right)=-0,9\times 3^{2} +1,53\times 3+3,51$$
Ainsi :
Au bout de $$3$$ heures, il n'y a donc plus de bactéries.

Nous allons développer l'expression $$-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right)$$.
Il vient alors que :
$$f\left(t\right)=-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right)$$
$$f\left(t\right)=-0,9\left(t\times t+t\times 1,3-3\times t-3\times 1,3\right)$$
$$f\left(t\right)=-0,9\left(t^{2} +1,3t-3t-3,9\right)$$
$$f\left(t\right)=-0,9\left(t^{2} -1,7t-3,9\right)$$
$$f\left(t\right)=-0,9\times t^{2} +\left(-0,9\right)\times \left(-1,7t\right)+\left(-0,9\right)\times \left(-3,9\right)$$
Ainsi :

Pour répondre à cette question, nous allons commencer par déterminer l'axe de symétrie de la fonction $$f$$, puis nous déterminerons le sommet de la fonction $$f$$.
Nous avons $$f\left(t\right)=-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=3$$ et $$x_2=-1,3$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{3+\left(-1,3\right)}{2}$$
$$x=\frac{3-1,3}{2}$$
$$x=\frac{1,7}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$0,85$$ et son ordonnée vaut $$f\left(0,85\right)=-0,9\left(0,85-3\right)\left(0,85+1,3\right)$$
Ainsi :
Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(0,85;4,16025\right)$$
Le sommet correspond ici au maximum de la fonction $$f$$ .
Le nombre de bactéries est maximal au bout de $$t = 0,85$$ heure , soit minutes .

D’après la question précédente le nombre de bactéries est maximal au bout de $$51$$ minutes.
Comme $$f\left(0,85\right)=4,16025$$, il y a donc $$41$$ $$603$$ bactéries.