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Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

20 min
40
Un laboratoire pharmaceutique réalise des tests pour détecter la Covid19. Sa direction estime qu'elle est en mesure de réaliser entre 1  6001\;600 et 3  0003\;000 tests journaliers.
Pour xx centaines de tests réalisés, le bénéfice de l'entreprise est exprimé en dizaines d'euros par la fonction ff définie sur [16;30]\left[16;30\right] par :
f(x)=−3x2+108x−540f\left(x\right)=-3x^{2}+108x-540 . On note C\mathscr{C} la courbe représentative de la fonction ff .
Question 1

Calculer f(18)f\left(18\right) et intépreter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Correction
f(18)=−3×182+108×18−540f\left(18\right)=-3\times 18^{2}+108\times 18-540
f(18)=−972+1900−540f\left(18\right)=-972+1900-540
Ainsi :
f(18)=432f\left(18\right)=432

D'après l'énoncé, xx correspond aux centaines de tests réalisés.
Lorsque le laboratoire réalisera 1  8001\;800 tests alors son bénéfice sera de 43  20043\;200 euros.
Question 2

Quel est le bénéficie réalisé pour 2  5002\;500 tests ?

Correction
Pour connaître le bénéficie réalisé pour 2  5002\;500 tests, il nous faut calculer f(25)f\left(25\right) .
D'où :
f(25)=−3×252+108×25−540f\left(25\right)=-3\times 25^{2}+108\times 25-540 équivaut successivement à :
f(25)=−1875+2700−540f\left(25\right)=-1875+2700-540
Ainsi :
f(25)=285f\left(25\right)=285

D'après l'énoncé, xx correspond aux centaines de tests réalisés.
Lorsque le laboratoire réalisera 2  5002\;500 tests alors son bénéfice sera de 28  50028\;500 euros.
Question 3

Montrer que pour tout réel xx de [16;30]\left[16;30\right], on a : f(x)=−3(x−6)(x−30)f\left(x\right)=-3\left(x-6\right)\left(x-30\right) .

Correction
Nous allons développer l'expression −3(x−6)(x−30)-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)
Il vient alors :
−3(x−6)(x−30)=−3(x×x+x×(−30)+(−6)×x+(−6)×(−30))-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=-3\left(x\times x+x\times \left(-30\right)+\left(-6\right)\times x+\left(-6\right)\times \left(-30\right)\right)
−3(x−6)(x−30)=−3(x2−30x−6x+180)-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=-3\left(x^{2} -30x-6x+180\right)
−3(x−6)(x−30)=−3(x2−36x+180)-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=-3\left(x^{2} -36x+180\right)
−3(x−6)(x−30)=−3×x2+(−3)×(−36x)+(−3)×180-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=-3\times x^{2} +\left(-3\right)\times \left(-36x\right)+\left(-3\right)\times 180
−3(x−6)(x−30)=−3x2+108x−540-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=-3x^{2} +108x-540
−3(x−6)(x−30)=f(x)-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=f\left(x\right)
Pour tout réel xx de [16;30]\left[16;30\right], on a : f(x)=−3(x−6)(x−30)f\left(x\right)=-3\left(x-6\right)\left(x-30\right) .
Question 4

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0. Il faut utiliser la forme factorisée obtenue à la question 33.
Ainsi :
−3(x−6)(x−30)=0-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x−6=0x-6=0 ou\text{\red{ou}} x−30=0x-30=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x−6=0x-6=0
x=6x=6
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x−30=0x-30=0
x=30x=30
Les points cherchés ont pour coordonnées (6;0)\left(6;0\right) et (30;0)\left(30;0\right)
Pour la suite de l'exercice, on notera x1=6x_1=6 et x2=30x_2=30 .
Question 5

Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [16;30]\left[16;30\right] .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) où aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a≠0a\ne 0 est une parabole admettant le point S(xS;yS)S\left(x_S;y_S\right) comme sommet.
  • xS=x1+x22x_S=\frac{x_1+x_2}{2} et yS=f(xS)y_S=f\left(x_S\right)
Nous savons que f(x)=−3(x−6)(x−30)f\left(x\right)=-3\left(x-6\right)\left(x-30\right).
Ainsi : x1=6x_1=6 et x2=30x_2=30 .
Il vient alors que :
D’une part : \text{\purple{D'une part : }}
xS=x1+x22x_S=\frac{x_1+x_2}{2}
xS=6+302x_S=\frac{6+30}{2}
xS=362x_S=\frac{36}{2}
xS=18x_S=18

D’autre part : \text{\purple{D'autre part : }}
yS=f(xS)y_S=f\left(x_S\right)
yS=f(18)y_S=f\left(18\right) et d'après la question 11, nous savons que f(18)=432f\left(18\right)=432
Ainsi :
yS=432y_S=432

Le sommet de la parabole est alors S(18;432)S\left(18;432\right)
On rappelle que f(x)=−3(x−6)(x−30)f\left(x\right)=-3\left(x-6\right)\left(x-30\right)
  • La représentation graphique de la fonction x↦a(x−x1)(x−x2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) où aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a≠0a\ne 0 est une parabole.
  • Si a>0a>0 la parabole est tournée vers le haut.
  • Si a<0a<0 la parabole est tournée vers le bas.
Dans notre situation a=−3<0a=-3<0. La parabole est tournée vers le bas.
On peut donc dresser le tableau de variation de la fonction ff.
Question 6

Déterminer le nombre de tests à réaliser pour un bénéfice maximal pour le laboratoire.

Correction
D'après la question 55, nous savons que :
La parabole admet donc un maximum valant 432432 atteint lorsque x=18x=18.
Finalement, le laboratoire devra réaliser 1  8001\;800 tests afin d'obtenir un bénéfice maximal s'élevant à 43  20043\;200 euros.

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