Déterminer les réels aa et bb dans les fonctions de la forme x↦ax2+bx\mapsto ax^{2}+b - Exercice 3

10 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bf\left(x\right)=ax^{2}+b où aa et bb sont deux réels.
Question 1

Déterminer les valeurs de aa et bb sachant que f(1)=4f\left(1\right)=4 et f(−2)=7f\left(-2\right)=7.

Correction
L'information f(1)=4f\left(1\right)=4 nous donne l'équation suivante a×12+b=4a\times 1^{2}+b=4 d'où a+b=4a+b=4
L'information f(−2)=7f\left(-2\right)=7 nous donne l'équation suivante a×(−2)2+b=7a\times \left(-2\right)^{2}+b=7 d'où 4a+b=74a+b=7
Il va falloir ici résoudre un système deux équations à deux inconnues.
{a+b=44a+b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a+b} & {=} & {4} \\ {4a+b} & {=} & {7} \end{array}\right. . On utilise la méthode par substitution .
{a=4−b4a+b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {4a+b} & {=} & {7} \end{array}\right.
{a=4−b4×(4−b)+b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {4\times \left(4-b\right)+b} & {=} & {7} \end{array}\right.
{a=4−b4×4+4×(−b)+b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {4\times 4+4\times \left(-b\right)+b} & {=} & {7} \end{array}\right.
{a=4−b16−4b+b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {16-4b+b} & {=} & {7} \end{array}\right.
{a=4−b16−3b=7\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {16-3b} & {=} & {7} \end{array}\right.
{a=4−b−3b=7−16\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {-3b} & {=} & {7-16} \end{array}\right.
{a=4−b−3b=−9\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {-3b} & {=} & {-9} \end{array}\right.
{a=4−bb=−9−3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {b} & {=} & {\frac{-9}{-3} } \end{array}\right.
{a=4−bb=3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-b} \\ {b} & {=} & {3} \end{array}\right.
{a=4−3b=3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {4-3} \\ {b} & {=} & {3} \end{array}\right.
{a=1b=3\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {3} \end{array}\right.
Il en résulte donc que :
f(x)=3x2+1f\left(x\right)=3x^{2} +1

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