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Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 2

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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2(x+3)(x+5)f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
2(x+3)(x+5)=0-2\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x+3=0x+3=0 ou\text{\red{ou}} x+5=0x+5=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x+3=0x+3=0
x=3x=-3
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x+5=0x+5=0
x=5x=-5
Les points cherchés ont pour coordonnées (3;0)\left(-3;0\right) et (5;0)\left(-5;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=2(x+3)(x+5)f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=3x_1=-3 et x2=5x_2=-5 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=3+(5)2x=\frac{-3+(-5)}{2}
x=82x=\frac{-8}{2}
x=4x=-4
Question 3

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 4-4 et son ordonnée vaut f(4)=2×(4+3)×(4+5)f\left(-4\right)=2\times\left(-4+3\right)\times\left(-4+5\right)
f(4)=2×(1)×1f\left(-4\right)=2\times\left(-1\right)\times1
f(4)=2f\left(-4\right)=-2

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (4;2)\left(-4;-2\right)