Dérivation

Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 3

8 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie par f(x)=x3+4,5x230x+1f\left(x\right)= x^{3} +4,5x^{2} -30x+1 sur l'intervalle [7;3]\left[-7;3\right] .

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [7;3]\left[-7;3\right], et montrer que f(x)=3(x+5)(x2)f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right)

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
  • f(x)=3x2+4,5×2x30f'\left(x\right)=3 x^{2} +4,5\times 2x-30
    f(x)=3x2+9x30f'\left(x\right)= 3x^{2} +9x-30

    Nous voulons obtenir : f(x)=3(x+5)(x2)f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée 3(x+5)(x2)3\left(x+5\right)\left(x-2\right) .
    Il vient alors que :
    3(x+5)(x2)=3(x×x+x×(2)+5×x+5×(2))3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x\times x+x\times \left(-2\right)+5\times x+5\times \left(-2\right))
    3(x+5)(x2)=3(x22x+5x10)3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x^{2} -2x+5x-10)
    3(x+5)(x2)=3(x2+3x10)3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3(x^{2} +3x-10)
    3(x+5)(x2)=3×x2+3×3x+3×(10)3\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3\times{x^{2}} +3\times{3x}+3\times{(-10)}
    3(x+5)(x2)=3x2+9x303\left(x+5\right)\left(x-2\right)=3x^2+9x-30
    Ainsi :
    f(x)=3(x+5)(x2)f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right)
    Question 2

    Dresser le tableau de signe de ff' sur l'intervalle [7;3]\left[-7;3\right] .

    Correction
    Nous savons que : f(x)=3(x+5)(x2)f'\left(x\right)=3\left(x+5\right)\left(x-2\right) . Nous allons donc dresser le tableau de signe de ff' qui nous donnera ensuite les variations de ff .
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+5=0x=5x+5=0\Leftrightarrow x=-5
    Soit xx+5x\mapsto x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+5x+5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x2=0x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit xx2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x2x-2 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Et enfin, le coefficient 33 est strictement positif, c'est à dire que dans la ligne de 33 on ne mettra que le signe (+)\left(+\right) .
    Il vient alors que :
    Question 3

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [7;3]\left[-7;3\right] .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    On en déduit le tableau de variation suivant :
  • f(7)=(7)3+4,5×(7)230×(7)+1f\left(-7\right)= \left(-7\right)^{3} +4,5\times\left(-7\right)^{2} -30\times\left(-7\right)+1 d'où
    f(7)=88,5f\left(-7\right)= 88,5
  • f(5)=(5)3+4,5×(5)230×(5)+1f\left(-5\right)= \left(-5\right)^{3} +4,5\times\left(-5\right)^{2} -30\times\left(-5\right)+1 d'où
    f(5)=138,5f\left(-5\right)= 138,5
  • f(2)=23+4,5×2230×2+1f\left(2\right)= 2^{3} +4,5\times2^{2} -30\times2+1 d'où
    f(2)=33f\left(2\right)=-33
  • f(3)=33+4,5×3230×3+1f\left(3\right)= 3^{3} +4,5\times3^{2} -30\times3+1 d'où
    f(3)=21,5f\left(3\right)=-21,5