Dérivation

Variations des fonctions polynômes du troisième degré - Exercice 1

8 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie par f(x)=13x33x2+5x+2f\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -3x^{2} +5x+2 sur l'intervalle [0;9]\left[0;9\right] .

Déterminer la dérivée de ff sur l'intervalle [0;9]\left[0;9\right] et montrer que f(x)=(x1)(x5)f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right) .

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée d'un x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
  • f(x)=13×3x23×2x+5f'\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -3\times 2x+5
    f(x)=x26x+5f'\left(x\right)=x^{2} -6x+5
    Nous voulons obtenir : f(x)=(x1)(x5)f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right)
    Pour cela nous allons développer l'expression donnée (x1)(x5)\left(x-1\right)\left(x-5\right) .
    Il vient alors que :
    (x1)(x5)=x×x+x×(5)+(1)×x+(1)×(5)\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x\times x+x\times \left(-5\right)+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times \left(-5\right)
    (x1)(x5)=x25xx+5\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x^{2} -5x-x+5
    (x1)(x5)=x26x+5\left(x-1\right)\left(x-5\right)=x^{2} -6x+5
    Ainsi :
    f(x)=(x1)(x5)f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right)
    Question 2

    Dresser le tableau de signe de ff' sur l'intervalle [0;9]\left[0;9\right] .

    Correction
    Nous savons que : f(x)=(x1)(x5)f'\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-5\right) . Nous allons donc dresser le tableau de signe de ff' qui nous donnera ensuite les variations de ff .
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x1=0x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit xx1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x1x-1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x5=0x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit xx5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x5x-5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Il vient alors que :
    Question 3

    Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;9]\left[0;9\right] .

    Correction
    • Si ff' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si ff' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Il en résulte donc que :
  • f(0)=13×033×02+5×0+2f\left(0\right)=\frac{1}{3} \times 0^{3} -3\times 0^{2} +5\times 0+2 ainsi f(0)=2f\left(0\right)=2
  • f(1)=13×133×12+5×1+2f\left(1\right)=\frac{1}{3} \times 1^{3} -3\times 1^{2} +5\times 1+2 ainsi f(1)=133f\left(1\right)=\frac{13}{3}
  • f(5)=13×533×52+5×5+2f\left(5\right)=\frac{1}{3} \times 5^{3} -3\times 5^{2} +5\times 5+2 ainsi f(5)=193f\left(5\right)=-\frac{19}{3}
  • f(9)=13×933×92+5×9+2f\left(9\right)=\frac{1}{3} \times 9^{3} -3\times 9^{2} +5\times 9+2 ainsi f(9)=47f\left(9\right)=47