Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 7

$$f'\left(x\right)=-9\times 2x+72$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-18x+72$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-18x+72\ge 0$$
$$-18x\ge -72$$
$$x\le \frac{-72}{-18}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 4$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-18x+72$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$4$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[1;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[4;9\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f\left(1\right)=-9\times1^{2} +72\times1-6$$ d'où

$$f\left(1\right)=57$$

$$f\left(4\right)=-9\times4^{2} +72\times4-6$$ d'où

$$f\left(4\right)=138$$

$$f\left(9\right)=-9\times9^{2} +72\times9-6$$ d'où

$$f\left(9\right)=-87$$