Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 6

$$f'\left(x\right)=5\times 2x-25$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=10x-25$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$10x-25\ge 0$$
$$10x\ge 25$$
$$x\ge \frac{25}{10}$$
$$x\ge 2,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$10x-25$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$2,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;2,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[2,5;10\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :