Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 5

$$f'\left(x\right)=4\times 2x-80$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=8x-80$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$8x-80\ge 0$$
$$8x\ge 80$$
$$x\ge \frac{80}{8}$$
$$x\ge 10$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$8x-80$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$10$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[4;10\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[10;15\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :