Variations des fonctions polynômes du second degré - Exercice 3

$$f'\left(x\right)=-2\times 2x+20$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-4x+20$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-4x+20\ge 0$$
$$-4x\ge -20$$
$$x\le \frac{-20}{-4}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4x+20$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[0;5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[5;8\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :