Déterminer les extrema d'une fonction - Dérivation - STL

Question 1

On considère la fonction

f

définie sur

\left[-3;2\right]

par

f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-6x+2

.

Donner l'expression de sa fonction dérivée notée $f'$ .

Correction

La dérivée d'un

{\color{blue}nombre}

est

{\color{blue}0} .

La dérivée d'un

{\color{blue}nombre\times x}

est

{\color{blue}nombre} .

La dérivée de

{\color{blue}x^{2}}

est

{\color{blue}2x} .

La dérivée d'un

{\color{blue}nombre\times x^{2}}

est

{\color{blue}nombre\times2x} .

La dérivée d'un

{\color{blue}x^{3}}

est

{\color{blue}3x^{2}} .

La dérivée d'un

{\color{blue}nombre\times x^{3}}

est

{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .

Soit

f\left(x\right)=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-6x+2

, il vient alors que :

f'\left(x\right)=3x^{2}+\frac{3}{2}\times2x-6

Ainsi :

f'\left(x\right)=3x^{2}+3x-6

Question 2

Montrer que pour tout réel $x\in \left[-3;2\right]$ , on a : $f'\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Correction

D'après la question

1

, nous savons que :

f'\left(x\right)=3x^{2}+3x-6

.
Nous allons développer l'expression donnée

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)

et il faudra obtenir la forme développée

3x^{2}+3x-6

.
Ce qui nous donne :

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x\times x +x\times 2+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times 2\right)

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x^{2} +2x-x-2\right)

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\left(x^{2} +x-2\right)

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3\times x^{2} +3\times x +3\times \left(-2\right)

3\left(x-1\right)\left(x+2\right)=3x^{2}+3x-6

Il en résult donc que pour tout réel

x\in \left[-3;2\right]

, on a :

f'\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)

Question 3

Etudier le signe de $f'\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ .

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :

On étudie le signe de chaque facteur.
On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

x-1=0\Leftrightarrow x=1

Soit

x\mapsto x-1

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-1$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=1$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x+2=0\Leftrightarrow x=-2

Soit

x\mapsto x+2

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x+2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-2$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{Enfin :}}

3

est strictement positif. On mettra que le signe

\left(+\right)

dans la ligne de

3

.
Le tableau du signe du produit (ici il s'agit de

f'

) est donné ci-dessous :

Question 4

Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ .

Correction

f

I

a

I

Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

Question 5

La fonction $f$ admet t-elle des extrema ? Si oui, les préciser.

Correction

f

I

a

I

Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ .

D'après le tableau ci-dessus :

f'

s'annule en changeant de signe en

-2

donc

f

admet un

\text{\red{extremum local}}

. Il s’agit, dans cette situation, d'un maximum

f'

s'annule en changeant de signe en

1

donc

f

admet un

\text{\red{extremum local}}

. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum

De plus :

Le maximum de

f

sur

\left[-3,2\right]

est atteint en

x=-2

et a pour valeur

12

.

Le minimum de

f

sur

\left[-3,2\right]

est atteint en

x=1

et a pour valeur

-\frac{3}{2}

.

Question 6

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f$ au point $A$ d'abscisse $0$ .

Correction

L'équation de la tangente au point d'abscisse

a

s'écrit

y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

.

Ici

a=0

, ce qui donne,

y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)

.
1^ère étape : calculer la dérivée de

f

D'après la question

1

, nous savons que :

f'\left(x\right)=3x^{2}+3x-6

2^ème étape : calculer

f\left(0\right)

f\left(0\right)=0^{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}-6\times 0+2

f\left(0\right)=2

3^ème étape : calculer

f'\left(0\right)

f'\left(0\right)=3\times 0^{2}+3\times 0-6

f'\left(0\right)=-6

4^ème étape : on remplace les valeurs de

f\left(0\right)

et de

f'\left(0\right)

dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :

y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)

y=\left(-6\right)\times \left(x-0\right)+2

y=\left(-6\right)\times x+2

y=-6x+2

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe

C_{f}

au point

A

d'abscisse

0

est alors

y=-6x+2

.

Déterminer les extrema d'une fonction - Exercice 2

Donner l'expression de sa fonction dérivée notée f′f'f′ .

Montrer que pour tout réel x∈[−3;2]x\in \left[-3;2\right]x∈[−3;2], on a : f′(x)=3(x−1)(x+2)f'\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)f′(x)=3(x−1)(x+2)

Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right)f′(x) sur l'intervalle [−3;2]\left[-3;2\right][−3;2] .

Dresser alors le tableau de variation de la fonction fff sur l'intervalle [−3;2]\left[-3;2\right][−3;2] .

La fonction fff admet t-elle des extrema ? Si oui, les préciser.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe fff au point AAA d'abscisse 000 .

Donner l'expression de sa fonction dérivée notée $f'$ .

Montrer que pour tout réel $x\in \left[-3;2\right]$ , on a : $f'\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Etudier le signe de $f'\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ .

Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[-3;2\right]$ .

La fonction $f$ admet t-elle des extrema ? Si oui, les préciser.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $f$ au point $A$ d'abscisse $0$ .