Automatismes : proportions, pourcentages et taux d'évolution

QCM - Exercice 1

20 min
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Question 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Pour chacune des questions, une seule des trois réponses est exacte.

Le prix d'un cahier de vacances a augmenté de 10%10\% puis a baissé de 10%10\%. Le prix du cahier de vacances
  • est revenu à son prix initial
  • a augmenté
  • a baissé

Correction
La bonne réponse est c.
  • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 10%10\% est : 1+10100=1,101+\frac{10}{100}=1,10
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 10%10\% est : 110100=0,91-\frac{10}{100}=0,9
  • Il en résulte donc que :
    1+t100=1,10×0,91+\frac{t}{100} =1,10\times 0,9
    1+t100=0,991+\frac{t}{100} =0,99
    t100=0,991\frac{t}{100} =0,99-1
    t100=0,01\frac{t}{100} =-0,01
    t=0,01×100t=-0,01\times 100
    t=1%t=-1\%

    Le taux d’évolution global est de t=1%t=-1\% c'est à dire qu'une augmentation de 10%10\% suivi d'une diminution de 10%10\% correspond à une diminution globale de 1%1\%. Autrement dit, le prix du cahier de vacances a diminué.
    Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 4,8%4,8\% est :
    • 4,84,8
    • 1,0481,048
    • 0,0480,048

    Correction
    La bonne réponse est b.
    • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
    • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1t1001-\frac{t}{100}
    Le coefficient multiplicateur est donc égale à
    1+4,8100=1,0481+\frac{4,8}{100}=1,048

    Ainsi, augmenter une valeur de 4,8%4,8\% revient à la multiplier par 1,0481,048.
    Question 3

    Après deux augmentations successives de 12%12\% puis de 5%5\%, le prix d’un article ménager est de 529,2529,2 euros. Le prix initial de l’article était de :
    • 450450 euros
    • 442,2442,2 euros
    • 439,07439,07 euros

    Correction
    Commençons par chercher le taux global des deux augmentations successives.
    • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
    Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 12%12\% est : 1+12100=1,121+\frac{12}{100}=1,12
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 5%5\% est : 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05
  • Il en résulte donc que :
    1+t100=1,12×1,051+\frac{t}{100} =1,12\times 1,05
    1+t100=1,1761+\frac{t}{100} =1,176
    t100=1,1761\frac{t}{100} =1,176-1
    t100=0,176\frac{t}{100} =0,176
    t=0,176×100t=0,176\times 100
    t=17,6%t=17,6\%

    Le taux d’évolution global est de t=17,6%t=17,6\% c'est à dire qu'une augmentation de 12%12\% et une deuxième de 5%5\% correspond à une augmentation globale de 17,6%17,6\%.
    Maintenant, nous connaissons le taux global correspondant aux deux augmentations. Nous allons pouvoir déterminer le prix initial.
    • Valeur initiale=Valeur finalecoefficient multiplicateur\text{Valeur initiale}=\frac{\text{Valeur finale}}{\text{coefficient multiplicateur}}
    • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
    D'après l'énoncé, on déduit que :
    • Le prix final vaut 529,2529,2
    • Le coefficient multiplicateur vaut 1+17,6100=1,1761+\frac{17,6}{100}=1,176
    Il en résulte donc que :
    Valeur initiale=529,21,176\text{Valeur initiale}=\frac{529,2}{1,176}
    Valeur initiale=450\text{Valeur initiale}=450

    Avant l'augmentation, le prix de l'article ménager était de 450450 €.
    Question 4

    Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 6,3%6,3\% est :
    • 6,36,3
    • 0,0630,063
    • 0,9370,937

    Correction
    La bonne réponse est c.
    • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
    • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1t1001-\frac{t}{100}
    Le coefficient multiplicateur est donc égale à
    16,3100=0,9371-\frac{6,3}{100}=0,937

    Ainsi, diminuer une valeur de 6,3%6,3\% revient à la multiplier par 0,9370,937.
    Question 5

    Un prix passe de 3232 € à 36,836,8 €. Quel est le taux d'évolution en pourcentage?
    • 5%5\%
    • 15%15\%
    • 25%25\%

    Correction
    La bonne réponse est b.
      Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
    • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
    • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
    • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
    • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
    • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 3232.
    • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 36,836,8.
    Il vient alors que :
    t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
    t=36,83232×100t=\frac{36,8-32 }{32 }\times100
    t=15%t=15\%

    Le prix à augmenter de 15%15\%.
    Question 6

    15%15\% de 1200012000 correspond à :
    • 18001800
    • 1020010200
    • 1380013800

    Correction
    La bonne réponse est a.
    • L’expression « une grandeur AA représente t%t\% de EE » se traduit par l’égalité A=E×t100A=E\times\frac{t}{100}
    Il nous faut donc calculer : 12000×1510012000\times\frac{15}{100}
    Ainsi :
    12000×15100=180012000\times\frac{15}{100}=1800
    Question 7

    Un loyer de 450450 € augmente de 2%2\% par an. Combien vaut ce loyer au bout de 22 ans?
    • 468468
    • 468,18468,18
    • 454454

    Correction
    La bonne réponse est b.
    Commençons par chercher le taux global des deux augmentations successives.
    • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
    Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 2%2\% est : 1+2100=1,021+\frac{2}{100}=1,02
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 2%2\% est : 1+2100=1,021+\frac{2}{100}=1,02
  • Il en résulte donc que :
    1+t100=1,02×1,021+\frac{t}{100} =1,02\times 1,02
    1+t100=1,04041+\frac{t}{100} =1,0404
    t100=1,04041\frac{t}{100} =1,0404-1
    t100=0,0404\frac{t}{100} =0,0404
    t=0,0404×100t=0,0404\times 100
    t=4,04%t=4,04\%

    Le taux d’évolution global est de t=4,04%t=4,04\% c'est à dire qu'une augmentation de 2%2\% et une deuxième de 2%2\% correspond à une augmentation globale de 4,04%4,04\%.
    Maintenant, nous connaissons le taux global correspondant aux deux augmentations. Nous allons pouvoir déterminer le prix final.
    • Valeur finale=Valeur initiale×coefficient multiplicateur\text{Valeur finale}=\text{Valeur initiale}\times\text{coefficient multiplicateur}
    • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1t1001-\frac{t}{100}
    D'après l'énoncé, on déduit que :
    • La valeur initiale vaut 450450
    • Le coefficient multiplicateur vaut 1+4,04100=1,04041+\frac{4,04}{100}=1,0404
    Il en résulte donc que :
    Valeur finale=450×1,0404\text{Valeur finale}=450\times1,0404
    Valeur finale=468,18\text{Valeur finale}=468,18

    Le loyer au bout de deux ans sera de 468,18468,18 €.