Exercices types DS - Automatismes : proportions, pourcentages et taux d'évolution - STL

Question 1

$30\%$ d'un stock de $12000$ jouets sont estampillés EU. Déterminer le nombre de jouets EU.

Correction

L’expression « une grandeur $A$ représente $t\%$ de $E$ » se traduit par l’égalité $A=E\times\frac{t}{100}$

Il nous faut donc calculer :

12000\times\frac{30}{100}

Ainsi :

12000\times\frac{30}{100}=3600

Il y a

3600

jouets estampillés EU.

Question 2

Une grande entreprise utilise $40\%$ de produits alimentaires BIO, soit $25000$ tonnes. Déterminer la masse totale $M$ de produits alimentaires utilisée par l'entreprise.

Correction

Nous savons que la masse totale

M

de produits alimentaires utilisée par l'entreprise représente

100\%

.
Or

40\%

de produits alimentaires BIO correspondent à

25000

tonnes. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :

Il vient alors :

M=\frac{25000\times100}{40}=62500

Il en résulte donc que la masse totale

M

de produits alimentaires utilisée par l'entreprise est de

62500

tonnes.

Question 3

La vitesse moyenne sur les routes est passée de $90$ km/h à $80$ km/h. Calculer le taux d'évolution de la vitesse moyenne. Donner un arrondi à $10^{-2}$ près.

Correction

V_{0}

V_{1}

Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à $\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }$
En pourcentage, le taux d’évolution se note $t\%$ avec $t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$
Si $t > 0$ , il s’agit d’une augmentation.
Si $t < 0$ , il s’agit d’une diminution.

La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $90$ .
La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $80$ .

Il vient alors que :

t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100

équivaut successivement à :

t=\frac{80-90 }{90 }\times100

t=-11,11\%

La vitesse moyenne va diminuer de

11,11\%

Question 4

En $2018$ , on dénombrait $16446$ exploitations agricoles engagées en agriculture biologique, soit une augmentation de $32,67\%$ par rapport à $2017$ . Quel était le nombre de ces exploitations en $2017$ ? Arrondir à l'unité près.

Correction

$\text{Valeur initiale}=\frac{\text{Valeur finale}}{\text{coefficient multiplicateur}}$
Augmenter une grandeur de $t\%$ revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur $1+\frac{t}{100}$

D'après l'énoncé, on déduit que :

La valeur finale vaut $16446$
Le coefficient multiplicateur vaut $1+\frac{32,67}{100}=1,3267$

Il en résulte donc que :

\text{Valeur initiale}=\frac{16446}{1,3267}

\text{Valeur initiale}=12396

Le nombre de ces exploitations en

2017

est alors de

12396

.

Question 5

Le prix d'un produit augmente de $12\%$ la première année et connait une baisse de $12\%$ la deuxième année. Déterminer le taux d'évolution globale entre ces deux années.

Correction

Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Soit

t

le taux global d'évolution recherché.

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de

12\%

est :

1+\frac{12}{100}=1,12

Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de

12\%

est :

1-\frac{12}{100}=0,88

Il en résulte donc que :

1+\frac{t}{100} =1,12\times 0,88

1+\frac{t}{100} =0,9856

\frac{t}{100} =0,9856-1

\frac{t}{100} =-0,0144

t=-0,0144\times 100

t=-1,44\%

Le taux d’évolution global est de

t=-1,44\%

c'est à dire qu'une augmentation de

12\%

suivi d'une diminution de

12\%

correspond à une diminution de

1,44\%

entre ces deux années.

Question 6

Le cours d'une action a chuté de $80\%$ en fin d'année $2017$ . Déterminer le taux d'évolution pour l'année suivante qui permettrait au cours de cette action de revenir à son niveau précédent.

Correction

Soient $V_{0}$ la valeur initiale d’une grandeur, $V_{1}$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t\%$ .
Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une évolution $t\%$ .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque $t'\%$ , il nous faut résoudre l'équation :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$

Soit

t'\%

l'évolution réciproque d'une diminution de

80\%

.

Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de

80\%

est :

1-\frac{80}{100}

Pour trouver la valeur de

t'\%

, il nous faut donc résoudre l'équation :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }

.
Ainsi :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{80}{100} }

. Ici nous faisons bien

1-\frac{80}{100}

au dénominateur car nous avons une baisse de

80\%

.

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,8 }

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,2 }

1+\frac{t'}{100} =5

\frac{t'}{100} =5-1

\frac{t'}{100} =4

t' =4\times100

t' =400\%

Si le cours de l'action diminue de

80\%

alors son taux réciproque pour revenir à son niveau initial est une augmentation de

400\%

.

Exercices types DS - Exercice 4

30%30\%30% d'un stock de 120001200012000 jouets sont estampillés EU. Déterminer le nombre de jouets EU.

Une grande entreprise utilise 40%40\%40% de produits alimentaires BIO, soit 250002500025000 tonnes. Déterminer la masse totale MMM de produits alimentaires utilisée par l'entreprise.

La vitesse moyenne sur les routes est passée de 909090 km/h à 808080 km/h. Calculer le taux d'évolution de la vitesse moyenne. Donner un arrondi à 10−210^{-2}10−2 près.

En 201820182018, on dénombrait 164461644616446 exploitations agricoles engagées en agriculture biologique, soit une augmentation de 32,67%32,67\%32,67% par rapport à 201720172017. Quel était le nombre de ces exploitations en 201720172017 ? Arrondir à l'unité près.

Le prix d'un produit augmente de 12%12\%12% la première année et connait une baisse de 12%12\%12% la deuxième année. Déterminer le taux d'évolution globale entre ces deux années.

Le cours d'une action a chuté de 80%80\%80% en fin d'année 201720172017. Déterminer le taux d'évolution pour l'année suivante qui permettrait au cours de cette action de revenir à son niveau précédent.

$30\%$ d'un stock de $12000$ jouets sont estampillés EU. Déterminer le nombre de jouets EU.

Une grande entreprise utilise $40\%$ de produits alimentaires BIO, soit $25000$ tonnes. Déterminer la masse totale $M$ de produits alimentaires utilisée par l'entreprise.

La vitesse moyenne sur les routes est passée de $90$ km/h à $80$ km/h. Calculer le taux d'évolution de la vitesse moyenne. Donner un arrondi à $10^{-2}$ près.

En $2018$ , on dénombrait $16446$ exploitations agricoles engagées en agriculture biologique, soit une augmentation de $32,67\%$ par rapport à $2017$ . Quel était le nombre de ces exploitations en $2017$ ? Arrondir à l'unité près.

Le prix d'un produit augmente de $12\%$ la première année et connait une baisse de $12\%$ la deuxième année. Déterminer le taux d'évolution globale entre ces deux années.

Le cours d'une action a chuté de $80\%$ en fin d'année $2017$ . Déterminer le taux d'évolution pour l'année suivante qui permettrait au cours de cette action de revenir à son niveau précédent.