Automatismes : proportions, pourcentages et taux d'évolution

Exercices types DS - Exercice 4

20 min
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Question 1

30%30\% d'un stock de 1200012000 jouets sont estampillés EU. Déterminer le nombre de jouets EU.

Correction
  • L’expression « une grandeur AA représente t%t\% de EE » se traduit par l’égalité A=E×t100A=E\times\frac{t}{100}
Il nous faut donc calculer : 12000×3010012000\times\frac{30}{100}
Ainsi :
12000×30100=360012000\times\frac{30}{100}=3600

Il y a 36003600 jouets estampillés EU.
Question 2

Une grande entreprise utilise 40%40\% de produits alimentaires BIO, soit 2500025000 tonnes. Déterminer la masse totale MM de produits alimentaires utilisée par l'entreprise.

Correction
Nous savons que la masse totale MM de produits alimentaires utilisée par l'entreprise représente 100%100\%.
Or 40%40\% de produits alimentaires BIO correspondent à 2500025000 tonnes. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :
Il vient alors :
M=25000×10040=62500M=\frac{25000\times100}{40}=62500

Il en résulte donc que la masse totale MM de produits alimentaires utilisée par l'entreprise est de 6250062500 tonnes.
Question 3

La vitesse moyenne sur les routes est passée de 9090 km/h à 8080 km/h. Calculer le taux d'évolution de la vitesse moyenne. Donner un arrondi à 10−210^{-2} près.

Correction
    Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1−V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 9090.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 8080.
Il vient alors que :
t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=80−9090×100t=\frac{80-90 }{90 }\times100
t=−11,11%t=-11,11\%

La vitesse moyenne va diminuer de 11,11%11,11\%
Question 4

En 20182018, on dénombrait 1644616446 exploitations agricoles engagées en agriculture biologique, soit une augmentation de 32,67%32,67\% par rapport à 20172017. Quel était le nombre de ces exploitations en 20172017 ? Arrondir à l'unité près.

Correction
  • Valeur initiale=Valeur finalecoefficient multiplicateur\text{Valeur initiale}=\frac{\text{Valeur finale}}{\text{coefficient multiplicateur}}
  • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
D'après l'énoncé, on déduit que :
  • La valeur finale vaut 1644616446
  • Le coefficient multiplicateur vaut 1+32,67100=1,32671+\frac{32,67}{100}=1,3267
Il en résulte donc que :
Valeur initiale=164461,3267\text{Valeur initiale}=\frac{16446}{1,3267}
Valeur initiale=12396\text{Valeur initiale}=12396

Le nombre de ces exploitations en 20172017 est alors de 1239612396.
Question 5

Le prix d'un produit augmente de 12%12\% la première année et connait une baisse de 12%12\% la deuxième année. Déterminer le taux d'évolution globale entre ces deux années.

Correction
  • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 12%12\% est : 1+12100=1,121+\frac{12}{100}=1,12
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 12%12\% est : 1−12100=0,881-\frac{12}{100}=0,88
    • Il en résulte donc que :
    1+t100=1,12×0,881+\frac{t}{100} =1,12\times 0,88
    1+t100=0,98561+\frac{t}{100} =0,9856
    t100=0,9856−1\frac{t}{100} =0,9856-1
    t100=−0,0144\frac{t}{100} =-0,0144
    t=−0,0144×100t=-0,0144\times 100
    t=−1,44%t=-1,44\%

    Le taux d’évolution global est de t=−1,44%t=-1,44\% c'est à dire qu'une augmentation de 12%12\% suivi d'une diminution de 12%12\% correspond à une diminution de 1,44%1,44\% entre ces deux années.
    Question 6

    Le cours d'une action a chuté de 80%80\% en fin d'année 20172017. Déterminer le taux d'évolution pour l'année suivante qui permettrait au cours de cette action de revenir à son niveau précédent.

    Correction
    • Soient V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur, V1V_{1} la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%t\%.
    • Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une évolution t%t\% .
    • Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%t'\%, il nous faut résoudre l'équation :
      1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }
    Soit t′%t'\% l'évolution réciproque d'une diminution de 80%80\%.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 80%80\% est : 1−801001-\frac{80}{100}
    • Pour trouver la valeur de t′%t'\%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+t′100=11+t1001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }.
    Ainsi :
    1+t′100=11−801001+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{80}{100} } . Ici nous faisons bien 1−801001-\frac{80}{100} au dénominateur car nous avons une baisse de 80%80\%.
    1+t′100=11−0,81+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,8 }
    1+t′100=10,21+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,2 }
    1+t′100=51+\frac{t'}{100} =5
    t′100=5−1\frac{t'}{100} =5-1
    t′100=4\frac{t'}{100} =4
    t′=4×100t' =4\times100
    t′=400%t' =400\%

    Si le cours de l'action diminue de 80%80\% alors son taux réciproque pour revenir à son niveau initial est une augmentation de 400%400\%.