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Automatismes : proportions, pourcentages et taux d'évolution

Exercices types DS - Exercice 2

15 min
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Le tableau ci-dessous donne l’évolution du cours du pétrole brut d’un mois sur le mois précédent (au dernier jour du mois).
Les prix sont en dollars américains.
Question 1

Compléter la ligne des coefficients dans le tableau.

Correction
  • Augmenter une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1+t1001+\frac{t}{100}
  • Diminuer une grandeur de t%t\% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur 1−t1001-\frac{t}{100}
Question 2

On considère l’indice base 100100 en mai. Calculer sur cette base l’indice du cours du pétrole fin juin, juillet puis fin août.

Correction
Il suffit de multiplier l’indice du mois précédent par le coefficient multiplicateur.
Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juin. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceJuin=100×1,076=107,6\text{Indice}_{\text{Juin}}=100\times1,076=107,6

Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juillet. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceJuillet=107,6×1,021=108,2456\text{Indice}_{\text{Juillet}}=107,6\times1,021=108,2456

Pour obtenir l'indice correspondant au mois d'Aout. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceAout=108,2456×0,98=106,08\text{Indice}_{\text{Aout}}=108,2456\times0,98=106,08
. Ici, le résultat a été arrondi au centième.
Nous complétons le tableau ci-dessous :
Question 3

Quel est le cours du pétrole fin août? Arrondir au centième.

Correction
Ici, il faut penser à faire un produit en croix.
Cela nous donne donc :
PrixAout=109×106,08100=115,63\text{Prix}_{\text{Aout}}=\frac{109\times106,08}{100}=115,63
La valeur a été arrondi au centième.
Le cours du pétrole au mois d'Aout est alors de 115,63115,63 dollars.
Question 4

Quel devrait-être le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre pour que l’indice à la fin du mois reprenne la valeur 100100?.

Correction
Plus simplement on peut remarquer que si l’on revient en septembre à l’indice 100100 de mai, le cours du pétrole revient donc à celui de mai soit 109109 dollars. Nous allons pouvoir calculer le taux d'évolution.
    Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1−V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 115,63115,63.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 109109.
Il vient alors que :
t=V1−V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=109−115,63115,63×100t=\frac{109-115,63}{115,63 }\times100
t=−5,73%t=-5,73\%

Le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre pour que l’indice à la fin du mois reprenne la valeur 100100 est une diminution de 5,73%5,73\%