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Produit scalaire
Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 1
12 min
25
Le quadrillage des petits carreaux sont de mesure
1
1
1
.
Question 1
Calculer
A
B
→
⋅
C
A
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}
A
B
⋅
C
A
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
C
A
→
\overrightarrow{CA}
C
A
sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
C
A
→
=
A
B
×
C
A
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =AB\times CA
A
B
⋅
C
A
=
A
B
×
C
A
A
B
→
⋅
C
A
→
=
6
×
3
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =6\times 3
A
B
⋅
C
A
=
6
×
3
A
B
→
⋅
C
A
→
=
18
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =18
A
B
⋅
C
A
=
18
Question 2
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
7
×
5
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-7\times 5
A
B
⋅
A
C
=
−
7
×
5
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
35
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-35
A
B
⋅
A
C
=
−
35
Question 3
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Soit
H
H
H
le projeté orthogonal de
C
C
C
sur la droite
(
A
B
)
\left(AB\right)
(
A
B
)
. Il en résulte donc que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
H
→
\overrightarrow{AH}
A
H
sont colinéaires mais de sens opposés.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
=
−
A
B
×
A
H
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
=
−
A
B
×
A
H
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
8
×
7
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-8\times 7
A
B
⋅
A
C
=
−
8
×
7
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
56
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-56
A
B
⋅
A
C
=
−
56
Question 4
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Soit
H
H
H
le projeté orthogonal de
C
C
C
sur le segment
[
A
B
]
\left[AB\right]
[
A
B
]
. Il en résulte donc que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
H
→
\overrightarrow{AH}
A
H
sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
=
A
B
×
A
H
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
=
A
B
×
A
H
A
B
→
⋅
A
C
→
=
8
×
4
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =8\times 4
A
B
⋅
A
C
=
8
×
4
A
B
→
⋅
A
C
→
=
32
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =32
A
B
⋅
A
C
=
32