Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 1

12 min
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Le quadrillage des petits carreaux sont de mesure 11 .
Question 1

Calculer AB→⋅CA→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}

Correction
  • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CA→\overrightarrow{CA} sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
AB→⋅CA→=AB×CA\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =AB\times CA
AB→⋅CA→=6×3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =6\times 3
AB→⋅CA→=18\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} =18

Question 2

Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
AB→⋅AC→=−7×5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-7\times 5
AB→⋅AC→=−35\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-35

Question 3

Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Soit HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)\left(AB\right) . Il en résulte donc que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} sont colinéaires mais de sens opposés.
Il vient alors que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AH→=−AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH
AB→⋅AC→=−8×7\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-8\times 7
AB→⋅AC→=−56\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-56

Question 4

Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
Soit HH le projeté orthogonal de CC sur le segment [AB]\left[AB\right] . Il en résulte donc que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
AB→⋅AC→=AB→⋅AH→=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH
AB→⋅AC→=8×4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =8\times 4
AB→⋅AC→=32\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =32

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