Produit scalaire
Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 2
Question 1
On donne
∥∥AB∥∥=1 et
∥∥AC∥∥=3 et
(AB,AC)=4π . Calculer
AB⋅AC
Correction
- Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC non nuls est défini par :
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(AB,AC) - Nous pouvons également écrire : AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC)
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(AB,AC)AB⋅AC=1×3×cos(4π) Or
cos(4π)=22, ce qui nous donne :
AB⋅AC=1×3×22Ainsi :
AB⋅AC=3×22 qui s'écrit également
AB⋅AC=232Question 2
On donne
∥∥AB∥∥=7 et
∥∥AC∥∥=8 et
(BAC)=2π . Calculer
AB⋅AC
Correction
- Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC non nuls est défini par :
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(AB,AC) - Nous pouvons également écrire : AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC)
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC)AB⋅AC=7×8×cos(2π) Or
cos(2π)=0, ce qui nous donne :
AB⋅AC=7×8×0Ainsi :
AB⋅AC=0 Si AB⋅AC=0 alors les vecteurs AB et AC sont orthogonaux. Question 3
On donne
∥∥AB∥∥=5 et
∥∥AC∥∥=6 et
(BAC)=45∘ . Calculer
AB⋅AC
Correction
- Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC non nuls est défini par :
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(AB,AC) - Nous pouvons également écrire : AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC)
AB⋅AC=∥∥AB∥∥×∥∥AC∥∥×cos(BAC)AB⋅AC=5×6×cos(45∘) Or
cos(45∘)=22, ce qui nous donne :
AB⋅AC=5×6×22Ainsi :
AB⋅AC=152