Produit scalaire

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

3 min
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On considère les points A(2;3)A\left(2;3\right), B(3;5)B\left(3;5\right) et C(0;4)C\left(0;4\right),
Question 1

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont-ils orthogonaux ?

Correction
Nous allons commencer par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} .
AB→(xB−xAyB−yA)⇔AB→(3−25−3)⇔AB→(12)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {5-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)
AC→(xC−xAyC−yA)⇔AC→(0−24−3)⇔AC→(−21)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {4-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \end{array}\right)
  • Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
AB→⋅AC→=1×(−2)+2×1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =1\times \left(-2\right)+2\times 1
AB→⋅AC→=−2+2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-2+2
Ainsi :
AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0
  • Si u→⋅v→=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0 alors les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux.
    • Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont bien orthogonaux .