Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 5

4 min

Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $UV$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

UV^{2} =RU^{2} +RV^{2} -2\times RU\times RV\times \cos \left(\widehat{R}\right)

UV^{2} =7,7^{2} +8,9^{2} -2\times 7,7\times 8,9\times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)

UV^{2} =59,29+79,21-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}

UV^{2} =138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}

UV=\sqrt{138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2} }

UV\approx 6,45