Dans un triangle quelconque
A B C ABC A B C en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ( A ^ ) a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right) a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ( A ) ; b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos ( B ^ ) b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right) b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos ( B ) ; c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ( C ^ ) c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right) c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ( C ) D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 × A B × B C cos ( B ^ ) AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\times AB\times BC\cos \left(\widehat{B}\right) A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 × A B × B C cos ( B ) A C 2 = 6 , 7 2 + 11 , 2 2 − 2 × 6 , 7 × 11 , 2 cos ( 45 ) AC^{2} =6,7^{2} +11,2^{2} -2\times 6,7\times 11,2\cos \left(45\right) A C 2 = 6 , 7 2 + 1 1 , 2 2 − 2 × 6 , 7 × 1 1 , 2 cos ( 4 5 ) A C 2 = 44 , 89 + 125 , 44 − 150 , 08 × 2 2 AC^{2} =44,89+125,44-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} A C 2 = 4 4 , 8 9 + 1 2 5 , 4 4 − 1 5 0 , 0 8 × 2 2 A C 2 = 170 , 33 − 150 , 08 × 2 2 AC^{2} =170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} A C 2 = 1 7 0 , 3 3 − 1 5 0 , 0 8 × 2 2 A C = 170 , 33 − 150 , 08 × 2 2 AC=\sqrt{170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} } A C = 1 7 0 , 3 3 − 1 5 0 , 0 8 × 2 2 A C ≈ 8 , 01 AC\approx 8,01 A C ≈ 8 , 0 1 cm