Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 1

4 min

Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $AC$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\times AB\times BC\cos \left(\widehat{B}\right)

AC^{2} =6,7^{2} +11,2^{2} -2\times 6,7\times 11,2\cos \left(45\right)

AC^{2} =44,89+125,44-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}

AC^{2} =170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}

AC=\sqrt{170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} }

AC\approx 8,01