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1ère STL - Enseignement de spécialité
Produit scalaire
Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI

Produit scalaire

Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI

Exercice 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $AC$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\times AB\times BC\cos \left(\widehat{B}\right)

AC^{2} =6,7^{2} +11,2^{2} -2\times 6,7\times 11,2\cos \left(45\right)

AC^{2} =44,89+125,44-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}

AC^{2} =170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2}

AC=\sqrt{170,33-150,08\times \frac{\sqrt{2} }{2} }

AC\approx 8,01

Exercice 2

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $RS$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

RS^{2} =TR^{2} +TS^{2} -2\times TR\times TS\times \cos \left(\widehat{T}\right)

RS^{2} =7,8^{2} +11,7^{2} -2\times 7,8\times 11,7\times \cos \left(120°\right)

RS^{2} =60,84+136,89-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right)

RS^{2} =197,73-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right)

RS=\sqrt{197,73-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right) }

RS\approx 17

Exercice 3

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $IJ$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

IJ^{2} =DI^{2} +DJ^{2} -2\times DI\times DJ\times \cos \left(\widehat{D}\right)

IJ^{2} =2,8^{2} +4,2^{2} -2\times 2,8\times 4,2\times \cos \left(60°\right)

IJ^{2} =7,84+17,64-23,52\times \frac{1}{2}

IJ^{2} =25,48-23,52\times \frac{1}{2}

IJ=\sqrt{25,48-23,52\times \frac{1}{2}}

IJ\approx 3,70

Exercice 4

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $GE$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

GE^{2} =LE^{2} +LG^{2} -2\times LE\times LG\times \cos \left(\widehat{L}\right)

GE^{2} =9,4^{2} +6,3^{2} -2\times 9,4\times 6,3\times \cos \left(30°\right)

GE^{2} =88,36+39,69-118,44\times \frac{\sqrt{3} }{2}

GE^{2} =128,05-118,44\times \frac{\sqrt{3} }{2}

GE=\sqrt{128,05-118,44\times \frac{\sqrt{3} }{2} }

GE\approx 5,05

Exercice 5

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $UV$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Dans un triangle quelconque

ABC

en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :

$a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right)$ ; $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right)$ ; $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)$

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

UV^{2} =RU^{2} +RV^{2} -2\times RU\times RV\times \cos \left(\widehat{R}\right)

UV^{2} =7,7^{2} +8,9^{2} -2\times 7,7\times 8,9\times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)

UV^{2} =59,29+79,21-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}

UV^{2} =138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2}

UV=\sqrt{138,5-137,06\times \frac{\sqrt{2} }{2} }

UV\approx 6,45

Exercice 6

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $MP$ à $10^{-2}$ près.

Correction

D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :

MP^{2} =SM^{2} +SP^{2} -2\times SM\times SP\times \cos \left(\widehat{S}\right)

MP^{2} =9,1^{2} +16,3^{2} -2\times 9,1\times 16,3\times \cos\left(\frac{3\pi }{4} \right)

MP^{2} =82,81+265,69-296,66\times \left(-{\frac{\sqrt{2} }{2}}\right)

MP^{2} =348,5-296,66\times \left(-{\frac{\sqrt{2} }{2}}\right)

MP=\sqrt{348,5-296,66\times \left(-{\frac{\sqrt{2} }{2}}\right) }

MP\approx 23,63

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Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI

Exercice 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur ACACAC à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 2

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur RSRSRS à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 3

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur IJIJIJ à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 4

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur GEGEGE à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 5

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur UVUVUV à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 6

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur MPMPMP à 10−210^{-2}10−2 près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $AC$ à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $RS$ à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $IJ$ à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $GE$ à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $UV$ à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur $MP$ à $10^{-2}$ près.