Les primitives usuelles - Exercice 2

7 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=12x2−3x−1a\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{2}-3x-1

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • A(x)=12×12+1x2+1−3×11+1x1+1−x+kA\left(x\right)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2+1} x^{2+1} -3\times\frac{1}{1+1} x^{1+1} - x+k
    A(x)=12×13x3−3×12x2−x+kA\left(x\right)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3} x^{3} -3\times\frac{1}{2} x^{2} -x+k
    A(x)=16x3−32x2−x+kA\left(x\right)=\frac{1}{6} x^{3} -\frac{3}{2} x^{2} -x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(t)=t33+2t2−22b\left(t\right)=\frac{t^{3}}{3} +2t^{2}-22

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Nous pouvons écrire b(t)=t33+2t2−22b\left(t\right)=\frac{t^{3}}{3} +2t^{2}-22 sous la forme b(t)=13t3+2t2−22b\left(t\right)=\frac{1}{3}t^{3} +2t^{2}-22
    Ainsi :
    B(t)=13×13+1t3+1+2×12+1t2+1−22t+kB\left(t\right)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3+1} t^{3+1} +2\times\frac{1}{2+1} t^{2+1} -22t+k
    B(t)=13×14t4+2×13t3−22t+kB\left(t\right)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4} t^{4} +2\times\frac{1}{3} t^{3} -22t+k
    B(t)=112t4+23t3−22t+kB\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{3}t^{3} -22t+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(t)=42t5−36t3+13c\left(t\right)=42t^{5} -36t^{3}+13

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • C(t)=42×15+1t5+1−36×13+1t3+1+13t+kC\left(t\right)=42\times\frac{1}{5+1} t^{5+1} -36\times\frac{1}{3+1} t^{3+1}+13t+k
    C(t)=42×16t6−36×14t4+13t+kC\left(t\right)=42\times\frac{1}{6} t^{6} -36\times\frac{1}{4} t^{4} +13t+k
    C(t)=426t6−364t4+13t+kC\left(t\right)=\frac{42}{6} t^{6} -\frac{36}{4} t^{4} +13t+k
    C(t)=7t6−9t4+13t+kC\left(t\right)=7t^{6} -9t^{4} +13t+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    d(x)=20x4−33x2+17d\left(x\right)=20x^{4}-33x^{2}+17

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • D(x)=20×14+1x4+1−33×12+1x2+1+17x+kD\left(x\right)=20\times\frac{1}{4+1} x^{4+1} -33\times\frac{1}{2+1}x^{2+1}+17x+k
    D(x)=20×15x5−33×13x3+17x+kD\left(x\right)=20\times\frac{1}{5} x^{5} -33\times\frac{1}{3}x^{3}+17x+k
    D(x)=205x5−333x3+17x+kD\left(x\right)=\frac{20}{5} x^{5} -\frac{33}{3}x^{3}+17x+k
    D(x)=4x5−11x3+17x+kD\left(x\right)=4x^{5}-11x^{3}+17x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    e(u)=15−5u−25u2−10u3e\left(u\right)=15-5u-25u^{2}-10u^{3}

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • E(u)=15u−5×11+1u1+1−25×12+1u2+1−10×13+1u3+1+kE\left(u\right)=15u-5\times\frac{1}{1+1}u^{1+1}-25\times\frac{1}{2+1}u^{2+1}-10\times\frac{1}{3+1}u^{3+1}+k
    E(u)=15u−5×12u2−25×13u3−10×14u4+kE\left(u\right)=15u-5\times\frac{1}{2}u^{2}-25\times\frac{1}{3}u^{3}-10\times\frac{1}{4}u^{4}+k
    E(u)=15u−52u2−253u3−104u4+kE\left(u\right)=15u-\frac{5}{2}u^{2}-\frac{25}{3}u^{3}-\frac{10}{4}u^{4}+k
    E(u)=15u−52u2−253u3−52u4+kE\left(u\right)=15u-\frac{5}{2}u^{2}-\frac{25}{3}u^{3}-\frac{5}{2}u^{4}+k
    où kk est une constante réelle.

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