Primitives

Les primitives usuelles - Exercice 1

7 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=−x2+9x+7a\left(x\right)=-x^{2} +9x+7

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • A(x)=−12+1x2+1+9×11+1x1+1+7x+kA\left(x\right)=-\frac{1}{2+1} x^{2+1} +9\times\frac{1}{1+1} x^{1+1} +7x+k
    A(x)=−13x3+9×12x2+7x+kA\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +9\times\frac{1}{2} x^{2} +7x+k
    A(x)=−13x3+92x2+7x+kA\left(x\right)=-\frac{1}{3} x^{3} +\frac{9}{2} x^{2} +7x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(t)=2t3+4t−2b\left(t\right)=2t^{3} +4t-2

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • B(t)=2×13+1t3+1+4×11+1t1+1−2t+kB\left(t\right)=2\times\frac{1}{3+1} t^{3+1} +4\times\frac{1}{1+1} t^{1+1} -2t+k
    B(t)=2×14t4+4×12t2−2t+kB\left(t\right)=2\times\frac{1}{4} t^{4} +4\times\frac{1}{2} t^{2} -2t+k
    B(t)=24t4+42t2−2t+kB\left(t\right)=\frac{2}{4} t^{4} +\frac{4}{2} t^{2} -2t+k
    B(t)=12t4+2t2−2t+kB\left(t\right)=\frac{1}{2} t^{4} +2t^{2} -2t+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(t)=6t4−5t2+3tc\left(t\right)=6t^{4} -5t^{2}+3t

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • C(t)=6×14+1t4+1−5×12+1t2+1+3×11+1t1+1+kC\left(t\right)=6\times\frac{1}{4+1} t^{4+1} -5\times\frac{1}{2+1} t^{2+1}+3\times\frac{1}{1+1} t^{1+1}+k
    C(t)=6×15t5−5×13t3+3×12t2+kC\left(t\right)=6\times\frac{1}{5} t^{5} -5\times\frac{1}{3} t^{3} +3\times\frac{1}{2} t^{2}+k
    C(t)=65t5−53t3+32t2+kC\left(t\right)=\frac{6}{5} t^{5} -\frac{5}{3} t^{3} +\frac{3}{2} t^{2}+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    d(x)=−3x5−6d\left(x\right)=-3x^{5}-6

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • D(x)=−3×15+1x5+1−6x+kD\left(x\right)=-3\times\frac{1}{5+1} x^{5+1} -6x+k
    D(x)=−3×16x6−6x+kD\left(x\right)=-3\times\frac{1}{6} x^{6} -6x+k
    D(x)=−36x6−6x+kD\left(x\right)=-\frac{3}{6} x^{6} -6x+k
    D(x)=−12x6−6x+kD\left(x\right)=-\frac{1}{2} x^{6}-6x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    e(u)=8−12u2−14u3e\left(u\right)=8-12u^{2}-14u^{3}

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • E(u)=8u−12×12+1u2+1−14×13+1u3+1+kE\left(u\right)=8u-12\times\frac{1}{2+1}u^{2+1}-14\times\frac{1}{3+1}u^{3+1}+k
    E(u)=8u−12×13u3−14×14u4+kE\left(u\right)=8u-12\times\frac{1}{3}u^{3}-14\times\frac{1}{4}u^{4}+k
    E(u)=8u−123u3−144u4+kE\left(u\right)=8u-\frac{12}{3}u^{3}-\frac{14}{4}u^{4}+k
    E(u)=8u−4u3−72u4+kE\left(u\right)=8u-4u^{3}-\frac{7}{2}u^{4}+k
    où kk est une constante réelle.