Primitives

Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦sin⁡(ax+b)\red{x\mapsto\sin \left(ax+b\right)} - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=sin⁡(3x+π9)f\left(x\right)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{9} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=sin⁡(3x+π9)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{9}}} \right) avec a=3{\color{red}{a=3}} et b=π9{\color{blue}{b=\frac{\pi }{9}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−13cos⁡(3x+π9)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{3}}\cos \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{9}}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=sin⁡(−7t+π4)f\left(t\right)=\sin \left(-7t+\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(t)=sin⁡(−7t+π4)f\left(t\right)=\sin \left({\color{red}{-7}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right) avec a=−7{\color{red}{a=-7}} et b=π4{\color{blue}{b=\frac{\pi }{4}}}
    Or une primitive de sin⁡(at+b)\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(at+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=−1acos⁡(at+b)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    F(t)=−1(−7)cos⁡(−7t+π4)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{\left(-7\right)}}\cos \left({\color{red}{-7}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=17cos⁡(−7t+π4)F\left(t\right)=\frac{1}{\color{red}{7}}\cos \left({\color{red}{-7}}t+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}}\right)

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=3sin⁡(8v+5π9)f\left(v\right)=3\sin \left(8v+\frac{5\pi }{9} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(v)=3sin⁡(8v+5π9)f\left(v\right)={\color{purple}{3}}\sin \left({\color{red}{8}}v+{\color{blue}{\frac{5\pi }{9}}} \right) avec a=8{\color{red}{a=8}} ; b=5π9{\color{blue}{b=\frac{5\pi }{9}}} et k=3{\color{purple}{k=3}}
    Or une primitive de k×sin⁡(av+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(av+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=−kacos⁡(av+b)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=−38cos⁡(8v+5π9)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{3}}}{\color{red}{8}}\cos \left({\color{red}{8}}v+{\color{blue}{\frac{5\pi }{9}}}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=21sin⁡(7x+π11)f\left(x\right)=21\sin \left(7x+\frac{\pi }{11} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=21sin⁡(7x+π11)f\left(x\right)={\color{purple}{21}}\sin \left({\color{red}{7}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{11}}} \right) avec a=7{\color{red}{a=7}} ; b=π11{\color{blue}{b=\frac{\pi }{11}}} et k=21{\color{purple}{k=21}}
    Or une primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−kacos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−217cos⁡(7x+π11)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{21}}}{\color{red}{7}}\cos \left({\color{red}{7}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{11}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(x)=−3cos⁡(7x+π11)F\left(x\right)=-3\cos\left(7x+\frac{\pi }{11} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=32sin⁡(5u4+π)f\left(u\right)=\frac{3}{2}\sin \left(\frac{5u}{4}+\pi \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(u)=32sin⁡(54u+π)f\left(u\right)={\color{purple}{\frac{3}{2}}}\sin \left({\color{red}{\frac{5}{4}}}u+{\color{blue}{\pi }} \right) avec a=54{\color{red}{a=\frac{5}{4}}} ; b=π{\color{blue}{b=\pi }} et k=32{\color{purple}{k=\frac{3}{2}}}
    Or une primitive de k×sin⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(au+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=−kacos⁡(au+b)F\left(u\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(u)=32×1−54cos⁡(54u+π)F\left(u\right)={\color{purple}{\frac{3}{2}}}\times\frac{1}{\color{red}{-\frac{5}{4}}}\cos \left({\color{red}{\frac{5}{4}}}u+{\color{blue}{\pi}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=32×(−45)cos⁡(54u+π)=−65cos⁡(54u+π)F\left(u\right)=\frac{3}{2}\times\left(-\frac{4}{5}\right)\cos\left(\frac{5}{4}u+\pi \right) = -\frac{6}{5}\cos\left(\frac{5}{4}u+\pi \right)