Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant la condition proposée - Exercice 2

3 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée.
Question 1

f(x)=3cos⁡(4x)f\left(x\right)=3\cos \left(4x\right)   \;;  \; F(π)=−1F\left(\pi\right)=-1

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=3cos⁡(4x)f\left(x\right)=3\cos \left({\color{red}{4}}x \right) avec a=4{\color{red}{a=4}} . Dans ce cas, b=0\color{blue}{b=0} .
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc que les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont :
    F(x)=3×14sin⁡(4x)+cF\left(x\right)=3\times\frac{1}{\color{red}{4}}\sin \left({\color{red}{4}}x\right)+c où cc est une constante réelle.
    Ainsi :
    F(x)=34sin⁡(4x)+cF\left(x\right)=\frac{3}{4}\sin \left(4x\right)+c

    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(π)=−1F\left(\pi\right)=-1. Il vient alors :
    F(π)=−1F\left(\pi\right)=-1 équivaut successivement à :
    34sin⁡(4π)+c=−1\frac{3}{4}\sin \left(4\pi\right)+c=-1 . Or sin⁡(4π)=0\sin \left(4\pi\right)=0
    34×0+c=−1\frac{3}{4}\times0+c=-1
    c=−1c=-1
    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(π)=−1F\left(\pi\right)=-1 est alors :
    F(x)=34sin⁡(4x)−1F\left(x\right)=\frac{3}{4}\sin \left(4x\right)-1

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